《向量的数乘》教学设计 (1).docVIP

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《向量的数乘》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

新课引入

如图所示,已知向量,请作出和.

问题:指出所得和向量与向量的模、方向有什么关系?

教师提问,用多媒体演示求和向量的过程.

学生自己试着作图,交流,回答.

用具体实例启发学生思考,激发学生的学习兴趣,引出向量的数乘的概念.

概念形成

一、向量的数乘

1.定义:一般地,实数与向量的积是一个向量,记作,它的长度和方向规定如下：

(1).

(2)若,则当时,与方向相同;当时,与方向相反.

实数与向量相乘的运算,叫作向量的数乘.

2.特别地,当时,;当时,.

3.向量数乘的几何意义.

当时,把向量沿着的相同方向放大或缩小;当时,把向量沿着的相反方向放大或缩小,如下图.

二、向量的数乘满足的运算律

1.设为向量,为实数,则有：

(1);

(2);

(3).

2.特别地,有.

3.向量的线性运算:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算.向量的线性运算结果仍是向量.

对于任意向量,以及任意实数,恒有.

三、向量共线定理设为非零向量,如果有一个实数,使,

那么与是共线向量;反之,如果与是共线向量,那么有且只有一个实数,使.

学生结合共线向量和向量的加减法初步归纳向量的数乘的概念.教师进行点拨与补充.

教师引导学生从大小和方向两个方面分析向量的数乘的特点.

教师给出当和0这两种特殊情形下向量数乘的计算结果,学生识记.

教师让学生试着归纳向量数乘的几何意义,并画出对应图形,学生根据图形进行解释说明,全班订正.

教师结合实例让学生理解向量的数乘满足的运算律.

学生阅读教材,进行归纳,加深记忆.

学生识记后教师提问：我们可以发现向量数乘的运算律和乘法的运算律形式上很相似,你能说说它们之间的区别吗?

教师出示左栏两个公式,让学生试着进行解释说明.

教师和学生重点分析向量数乘结果的方向,引导学生观察结果向量和原来向量的关系.

学生分小组合作,总结.

教师提问:我们可以如何证明这个结论?

学生小组讨论,完成证明过程.教师让一名学生板演,全班订正答案.

通过对向量的数乘概念的学习,提升学生的数学抽象核心素养.

通过对向量数乘的几何意义的说明，让学生从几何角度理解向量的数乘概念,提升直观想象核心素养,增强学生的表达能力.

在掌握了向量数乘的运算律之后,再与实数乘法的运算律进行比较,加深理解,强化学生对形式相似内容的辨析能力.

通过对向量共线定理的证明,让学生对向量的数乘有更加深刻的认识,提升逻辑推理核心素养.

概念深化

一、向量的数乘

1.实数与向量可以相乘,但是实数和向量不可以相加或相减.

2.若向量是非零向量,则向量是与向量同向的单位向量.

3.注意的方向和模.

二、向量的数乘满足的运算律

向量数乘的运算律可类似于多项式的运算.例如，多项式运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.

三、向量共线定理

若与共线,不一定有,当时,无解;只有当时,才有.所以,定理中才会有条件.

教师给出对向量的数乘需要注意的知识点,逐条分析说明.

学生结合教师的点拨,展开讨论、交流.

教师把向量数乘的运算律与多项式的运算进行类比,加深学生的理解.

教师给出向量共线定理中要求的原因,强调定理的严谨性.

加深学生对向量的数乘的理解.

灵活运用类比的方法,加深学生对向量数乘的运算律的掌握程度.

培养学生的观察归纳能力,达到培养逻辑推理核心素养的目的.

应用举例

例1如图,已知向量和向量,求作向量和向量.

作法如图(1)所示,向量的长度是的长度的倍,方向与的方向相反.

如图(2)所示,以为起点,分别作,连接,则.

课堂练习:教材第16页练习第1,3题.

例2计算：

(1);

(2).

解(1)原式.

(2)原式.

课堂练习:教材第16页练习第2题.

例3如图,分别为的边的中点,求证:与共线,并用表示.

证明因为分别为的中点,所以,

即与共线.

又,且与同向,

所以.

例4如图,已知为直线外一点,点在直线上,且.求证:.

证明因为,

又,所以,

即.

又因为,即,

所以.

课堂练习:教材第18页练习第7题.

学生自主完成例1,然后探讨.

教师演示答案,并引导学生归纳需注意的问题.

教师出示例2,学生分组练习,交流讨论.

教师巡回指导,收集信息,及时评价,纠正错误.

教师出示例3,学生分组练习.

集体订正答案.

教师指出:设,若,则称向量可以用非零向量线性表示.

教师出示例4,