重难点专题05：空间向量与立体几何-近三年高考真题赏析-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

重难点专题05：空间向量与立体几何-近三年高考真题赏析

1．（2023·北京·统考高考真题（第17题））如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点．

(1)求证：EF//平面PBC；

(2)若，二面角的大小为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求PD的长．

条件①：；条件②：．

【解析】（1）如图所示，

取的中点M，连接，

∵M，F分别为的中点，∴是的中位线，∴且，

又E为的中点，∴且，∴且，

∴四边形是平行四边形，∴平面平面，

∴平面.

（2）如图所示，

选择条件①：,

平面ABCD，,平面PCD，平面PCD,平面PCD,

,,底面ABCD为菱形，E为AB的中点．,是等边三角形，

以为z轴，为y轴,为x轴，建立空间直角坐标系，

设,则,

设平面法向量为,设平面法向量为,,,

,令,则,二面角的大小为

∴，,

选择条件②：．

平面ABCD，,,取的中点O，,

平面PDO，平面PDO,平面PDO,,,

底面ABCD为菱形，O为BC的中点．,是等边三角形，

以为z轴，以为x轴，以为y轴

设,则,

设平面法向量为,,,,

令则,设平面的法向量为,

,,,

令,则,二面角的大小为

∴，,

2．（2023·全国甲卷（理数）·第18题）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距离为1．

??

(1)求证：；

(2)若直线与距离为2，求与平面所成角的正弦值．

【详解】（1）如图，

??

底面，面，

，又，平面，,

平面ACC1A1，又平面，

平面平面，

过作交于，又平面平面，平面，

平面

到平面的距离为1，，

在中，，

设，则，

为直角三角形，且，

，，，

，解得，

，

（2），

，

过B作，交于D，则为中点，

由直线与距离为2，所以

，，，

在，，

延长，使，连接，

由知四边形为平行四边形，

，平面，又平面，

则在中，，，

在中，，，

,

又到平面距离也为1，

所以与平面所成角的正弦值为.

3．（2023·全国乙卷（理数）·第19题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面BEF；

(3)求二面角的正弦值.

【详解】（1）连接，设，则，，，

则，

解得，则为的中点，由分别为的中点，

于是，即，则四边形为平行四边形，

，又平面平面，

所以平面.

????

（2）由（1）可知，则，得，

因此，则，有，

又，平面，

则有平面，又平面，所以平面平面.

（3）过点作交于点，设，

由，得，且，

又由（2）知，，则为二面角的平面角，

因为分别为的中点，因此为的重心，

即有，又，即有，

，解得，同理得，

于是，即有，则，

从而，，

在中，，

于是，，

所以二面角的正弦值为.

4．（2023·天津·统考高考真题（第17题））三棱台中，若面，分别是中点.

??

(1)求证：//平面；

(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离．

【详解】（1）??

连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，

由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，

又平面，平面，于是//平面.

（2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接.

由面，面，故，又，，平面，则平面.

由平面，故，又，，平面，于是平面，

由平面，故.于是平面与平面所成角即.

又，，则，故，在中，，则，

于是

??

（3）[方法一：几何法]

??

过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为.

由题干数据可得，，，根据勾股定理，，

由平面，平面，则，又，，平面，于是平面.

又平面，则，又，，平面，故平面.

在中，，

又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，

即点到平面的距离是.

[方法二：等体积法]

??

辅助线同方法一.

设点到平面的距离为.

，

.

由，即.

5.（2023·新高考数学全国Ⅰ卷（第18题））如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

??

(1)证明：；

(2)点在棱上，当二面角为时，求．

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，

??

则，

，

，

又不在同一条直线上，

.

（2）设，

则，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

设平面的法向量，

则，

令，得，

，

，

化简可得，，

解得或，

或，

.

6．（2023·新高考数学全国Ⅱ卷（第20题））如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；

(2)点F满足，求二面角的正弦值．．

【详解】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，

因为，，所以与均为等边三角形，

，从而②，由①②，，平面，

所以，平面，而平面，所以．

（2）不妨设，，．

，，又，平面平面．

以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

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