2024年上海市复旦大学附属中学九年级自主招生考试数学试卷含详解.docx

复旦附中2023学年初三年级自招飞行考

一,填空题

1.实数满足,则________．

2已知,则____．

3.关于的不等式组有解,那么实数的取值范围是____________________________．

4若有整数解,则____________．

5.不等式对于一切实数都成立,则最大值为____．

6.已知四边形为正方形,其中几个阴影部分面积如图所示,则四边形的面积最大为__．

7.一个三角形边长为,,,另一个三角形的边长分别为,,,其中,若两个三角形的最小内角相等,则__________．

8.张扑克牌,将第一张扔掉,第二张放到最后,第三张扔掉,第四张放到最后,依次进行下去,当手中最后只剩下一张牌时,这张是最开始的扑克牌顺序从上面数的第______张．

9.如图,点A,B的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点,BC＝1,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为__．

10.已知：不论k取什么实数,关于x的方程（a,b是常数）的根总是x＝1,试求a,b的值.

11正实数满足,且.

（1）求的值.

（2）证明：．

复旦附中2023学年初三年级自招飞行考

一,填空题

1.实数满足,则________．

【答案】

【分析】本题考查利用因式分解解一元二次方程的应用,先用两式相减计算,然后两式相加得到再根据完全平方公式的变形得到,代入计算即可解题．

【详解】解：∵实数满足.

∴,即

∵.

∴.

∴.

解得

∴.

∴．

2.已知,则____．

【答案】

【分析】本题考查分式的化简求值,先根据方程得到,然后化简分式为,代入计算即可．

详解】解：∵.

∴.

.

∴原式.

故答案为：．

3.关于的不等式组有解,那么实数的取值范围是____________________________．

【答案】或a0

【分析】本题主要考查其它不等式的解法,由题意分类讨论的范围,先判断a0时满足条件,当时,再根据,求出的范围即可．

【详解】解：∵关于的不等式组的解集有解,

.

当a0时,满足不等式组的解集有解.

当时,不等式组即.

∵它有解集,

.

解得.

综上可得,的范围为或a0.

故答案：或a0．

4.若有整数解,则____________．

【答案】4或

【分析】本题考查了一元二次方程的整数解,将方程转化为的形式,根据x,y均为整数可得,,由此可求解,将原方程变形处理是解题的关键．

【详解】解：∵.

∴.

∵x,y是整数.

∴且.

解得或.

故答案为：4或．

5.不等式对于一切实数都成立,则的最大值为____．

【答案】5

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键,由题意易得要使不等式对于一切实数都成立,则需满足,进而根据二次函数的最值问题可求解．

【详解】解：由题意得：.

∵.

∴当时,函数的最小值是当时取得,即为9.

当时,函数的最小值是当时取得,即为5.

∴.

∴.

即a的最大值为5．

6.已知四边形为正方形,其中几个阴影部分面积如图所示,则四边形的面积最大为__．

【答案】24

【分析】本题考查正方形的性质,根据正方形的性质以及三角形面积公式的图形间的面积关系是解题关键．

由正方形的性质可得出,,即,等式两边减去和,即可得出,然后代入数据即可求出即可．

【详解】解：∵四边形为正方形.

∴．

∵.

∴．

∵.

∴．

∴,即.

∴,解得：．

故答案为：24．

7.一个三角形边长为,,,另一个三角形的边长分别为,,,其中,若两个三角形的最小内角相等,则__________．

【答案】

【分析】本题考查解直角三角形,解题的关键是添加合适的辅助线,构造直角三角形．

在中,,,在中,,,．过点A作于点H,于点．设,利用勾股定理求出,再根据,推出,构建关系式,即可得出答案．

【详解】解：如图.

在中,,,在中,,,．

过点A作于点H,于点．设

.

.

.

.

.

,.

.

.

解得：或（负值舍去）

故答案为：

8.张扑克牌,将第一张扔掉,第二张放到最后,第三张扔掉,第四张放到最后,依次进行下去,当手中最后只剩下一张牌时,这张是最开始的扑克牌顺序从上面数的第______张．

【答案】

【分析】此题主要考查了数字规律,第一次剩下能被整除的数,第二次剩下能被整除的数和,依次找出规律即可,读懂题意,找出规律是解题的关键．

【详解】解：根据题意可得：第一次剩下卡片是：,,,,,,,,,,,.

第二次剩下的卡片是：,,,,,,,,,,,,,.

第三次剩下的卡片是：,,,,,,.

第四次剩下的卡片是：,,,.

第五次剩下的卡片是：,.

第六次剩下的卡片是：.

故答案为：．

9.如图,点A,B的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为