专题2.9 直线与圆的方程大题专项训练（30道）（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）_1_1.docx

专题2.9直线与圆的方程大题专项训练（30道）

【人教A版（2019）】

姓名：___________班级：___________考号：___________

1．（2023春·安徽·高二校联考阶段练习）已知圆C过三个点0,2,1,1,2,2，过点P2,0引圆C的切线，求：

(1)圆C的一般方程；

(2)圆C过点P的切线方程.

【解题思路】（1）设圆C的一般方程为x2

（2）分斜率不存在和斜率存在两种情况，再结合点线距离公式即可求解.

【解答过程】（1）设圆C的一般方程为x2

代入三个点0,2,1,1,2,2

所以圆C的一般方程为x2

（2）圆C的一般方程化为标准形式为(x

当切线斜率不存在时，易知切线方程x=2符合题意

当切线斜率存在时，设切线方程为y=kx

则依题意可得k-2-2k

此时切线方程为-34x

综上所述，圆C过点P的切线方程为x=2和3

2．（2023春·河北张家口·高二校考阶段练习）已知一圆C的圆心为2,-1，且该圆被直线l:x-

(1)求该圆的方程；

(2)求过点P4,3的该圆的切线方程

【解题思路】（1）假设圆的方程，利用垂径定理可构造方程求得圆的半径，由此可得圆的方程；

（2）分别在切线斜率不存在和存在的情况下，根据圆心到直线距离等于半径可求得切线方程.

【解答过程】（1）设圆C的方程为x-

∵圆心到直线x-y-

又圆被直线l:x-y-

∴圆的方程为：x-

（2）当切线斜率不存在的时候，切线方程为：x=4

当切线斜率存在时，设切线方程为y-3=k

由2k+1-4k+3k2+1=2得：

综上所述：过点P4,3的圆的切线方程为x=4或

3．（2023秋·高一单元测试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+

(1)求圆M的方程；

(2)过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.

【解题思路】（1）求出过点P2,-1且与直线x+y-1=0垂直的直线方程，与y

（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点O的直线l被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程.

【解答过程】（1）过点P2,-1且与直线x+y

联立x-y-3=0y

所以圆M的半径为MP=

所以圆M的方程为x-

????

（2）由（1）可知圆M的方程为x-

因为直线l被圆M截得的弦长为6，

所以M到直线l的距离为d=

若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，此时圆心到直线的距离为1

若直线l的斜率存在，设方程为y=

则d=k+2k2+1=22

所以直线l的方程为x+y=0

??

4．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）已知圆C经过点A(1,2)和B(5,-2)，且圆C关于直线

(1)求圆C的方程；

(2)过点D(-3,1)作直线l与圆C相切，求直线l

【解题思路】（1）由题意可知圆心为AB中垂线与2x

（2）分类讨论，设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径计算即可.

【解答过程】（1）∵A(1,2)，B(5,-2)，故AB的中点坐标为3,0，

∴AB的垂直平分线为：y-

由y=x-3

故圆C的方程为(x

（2）若直线l的斜率存在，方程可设为y-1=

圆心C(1,-2)到直线l的距离为d=k

所求的一条切线为7x

当直线l的斜率不存在时，圆心C(1,-2)到x=-3的距离为4，即

所以直线l的方程为x=-3和7

5．（2023春·河南信阳·高二校考阶段练习）已知直线l:mx-

(1)求证：对任意实数m，直线l和圆C总有两个不同的交点；

(2)设直线l和圆C交于A，B两点.

①若|AB|=17

②求弦AB的中点M的轨迹方程.

【解题思路】（1）解法1，联立消元，根据Δ0

解法2：求出圆心到直线的距离，即可证明；

解法3：求出直线过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可证明；

（2）①求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式得到方程，解得即可；

②联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可求出中点坐标，消去参数m，即可得解；

【解答过程】（1）解法1：将y=1+m(

得1+m2x

故直线l和圆C总有两个不同的交点.

解法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d

于是直线l和圆C总有两个不同的交点.

解法3：由已知，直线l:m(x-

所以直线l恒过定点P(1,1)

因为PC=12+(1-1)

于是直线l和圆C总有两个不同的交点.

（2）①圆心C(0,1)到直线l的距离d

由弦长公式AB=2r2-d

即直线l的斜率为±3，于是l的倾斜角为π3或

②将y=1+m(

得1+m2x2-2m

所以x1+x

则xM=x

所以x=

消去m得x-

即x2+y

6．（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100m，桥面CD离水面AB的高度为