专题4.6期中考前必刷解答题（压轴真题60道，九上人教）-2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）.pdfVIP

2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题4.6期中考前必刷解答题（压轴真题60道，九上人教）

班级：_____________姓名：_____________得分：_____________

一．解答题（共60小题）

1．（2022秋•伊州区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断；

（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可；

【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×

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（2k﹣1）＝k﹣4k+8＝（k﹣2）+4，

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无论k取何实数，总有（k﹣2）≥0，（k﹣2）+4＞0，

所以方程总有两个不相等的实数根．

（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，

整理，得2﹣k＝0．

解得k＝2，

此时方程可化为x2﹣4x+3＝0．

解此方程，得x1＝1，x2＝3．

所以方程的另一根为x＝1．

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【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b﹣4ac：当Δ＞0，方程有两

个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意

义等；

2．（2022秋•龙岩期中）如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每

秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、

B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：

（1）经过6秒后，BP＝6cm，BQ＝12cm；

（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？

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（3）经过几秒△BPQ的面积等于3cm？

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据路程＝速度×时间，求出BQ，AP的值就可以得出结论；

（2）先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出

结论；

（3）作QD⊥AB于D，由勾股定理可以表示出DQ，然后根据面积公式建立方程求出其解即可．

【解答】解：（1）由题意，得

AP＝6cm，BQ＝12cm．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝12cm，

∴BP＝12﹣6＝6cm．

故答案为：6、12．

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝12cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，

当∠PQB＝90°时，

∴∠BPQ＝30°，

∴BP＝2BQ．

∵BP＝12﹣x，BQ＝2x，

∴12﹣x＝2×2x，

12

∴x=，

5

当∠QPB＝90°时，

∴∠PQB＝30°，

∴BQ＝2PB，

∴2x＝2（12﹣x），

x＝6

12

答6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；

5

（3）作QD⊥AB于D，

∴∠QDB＝90°，

∴∠DQB＝30°，

1

∴DB=BQ＝x，

2

在Rt△DBQ中，由勾股定理，得

DQ=3x，