专题4 函数与方程（零点问题、嵌套函数）(模拟+真题) 原卷版_1.docx

专题4函数与方程

1．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.

【详解】易知函数在上单调递增，

又，，

由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是．

故选：C

2．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用零点存在性定理计算即可.

【详解】由题知在上单调递增，

∵，，，

又，∴，即在上存在使得.

故选：B.

3．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）函数的图象不可能是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】D

【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.

【详解】①当时，，此时A选项符合；

②当时，，

当时，，

因为函数在上都是减函数，

所以函数在在上是减函数，

如图，作出函数在上的图象，

由图可知，函数的图象在上有一个交点，

即函数在在上有一个零点，

当时，，则，

由，得，由，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，故B选项符合；

③当时，，

当时，，

因为函数在上都是减函数，

所以函数在上是减函数，

如图，作出函数在上的图象，

由图可知，函数的图象在上有一个交点，

即函数在在上有一个零点，

当时，，则，

由，得，由，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，故C选项符合，D选项不可能.

故选：D.

4．（2023·湖南永州·统考二模）已知函数，下列结论正确的是（????）

A．的图象是中心对称图形

B．在区间上单调递增

C．若方程有三个解，，则

D．若方程有四个解，则

【答案】D

【分析】利用导数判断B；求出函数的对称轴，根据导数求出函数单调性，得到的图象，数形结合可判断A；并可求出，的值，进而判断C；借助图象可求出的取值范围，进而判断D.

【详解】对于B，当时，，

，

因为，所以，，

所以，所以，所以在区间上单调递减，故B错误；

当时，，

，

因为，，所以，

所以，所以在区间上单调递增；

因为，所以，

所以的对称轴为，

又，

，

故图象如下：

对于A，由图象可知，不是中心对称图形，故A错误；

对于C，若方程有三个解，则，故

又，解得，所以，

所以，故C错误；

对于D，由图象可知若方程有四个解，则，解得，

故D正确.

故选：D

5．（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）函数在区间上所有零点的和等于（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出.

【详解】因为，

令，则，

则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，

可得和的函数图象都关于直线对称，

则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示.

观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，

即有8个零点，且关于直线对称，

故所有零点的和为.

故选：D

6．（2023·天津·二模）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围.

【详解】由题意可知，当时，，所以；

当时，，所以，

综上，对，有，

由有两个零点，即方程有两个根，

即方程有两个根，不妨设,

易知函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，,当时，

令，因为，所以，

所以，则，

令，

，令，解得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

当时.

所以函数的值域为，

即的取值范围是.

故选：A.

7．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据题得到时，产生一个根，时，，产生两个根，利用韦达定理及对勾函数的性质可得取值范围.

【详解】要函数有三个不同的零点，

则当时，，必有一个根，且为，同时，

当时，，必有两不等非负根，整理得，

所以，解得，

所以，

根据对勾函数的图像和性质可得函数在上单调递减，

故，

即的取值范围是.

故选：D.

8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】当时，对求导，得到的单调性和最值再结合二次函数的性质画出的图象，令，将函数的零点个数问题转化为方程根的问题，结合图象求解即可.

【详解】由题意可知当时，，

令可得：；令可得：；，

故在上单调递减，在上单调递增，

，且当时，，

当趋近于负无穷时，趋近于0；

当时