2024年高考数学真题和模拟题分类汇编专题18坐标系与参数方程含解析.docxVIP

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专题18坐标系与参数方程

解答题

1.(2024?高考全国甲卷?理T22)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满意，写出Р的轨迹的参数方程，并推断C与是否有公共点．

【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设

，

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，，两圆内含，

故曲线C与没有公共点.

2.(2024?高考全国乙卷?文T22)在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

【解析】（1）由题意，的一般方程为，

所以的参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率肯定存在，设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于1可得，

解得，所以切线方程为或，

将，代入化简得

或.

3.(2024?河南郑州三模?理T22)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos（）＝，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．

（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点A（1，0），若直线l与曲C线交于P，Q两点，PQ中点为M，求的值．

【解析】（1）直线的极坐标方程为ρcos（）＝，整理得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，依据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．

曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝4．依据，转换为直角坐标方程为．

（2）把直线方程x﹣y﹣1＝0转换为参数方程为（t为参数），代入直角坐标方程为．

得到，点P和Q对应的参数为t1和t2，

所以，，点M对应的参数为

故＝．

4.(2024?河南开封三模?文理T22)已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）设点P（0，2），若直线l与曲线C交于不同的两点A，B，求|PA|+|PB|的取值范围．

【解析】（1）曲线C的极坐标方程为，整理得ρ2+2ρ2sin2θ＝3，

依据，整理得x2+3y2＝3，

化简得曲线C的直角坐标方程为．

（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得：（tcosα）2+3（2+tsinα）2＝3，

化简得（1+2sin2α）t2+12tsinα+9＝0，

则，，

且△＝144sin2α﹣36（1+2sin2α）＞0，2sin2α﹣1＞0，

则有，

则，

令，有，

所以|PA|+|PB|的取值范围为．

5.(2024?河南焦作三模?理T22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．

（Ⅰ）若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上，求α；

（Ⅱ）若tanα＝，求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标．

【解析】（Ⅰ）曲线C的参数方程为（φ为参数），

转换为直角坐标方程为．

曲线C与y轴的负半轴交于点（0，﹣1），

由于直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），

所以直线l恒过点（1，0）．

所以直线的斜率k＝1，即tanα＝1，

整理得．

（Ⅱ）若tanα＝，

所以直线的l的一般方程为，即，

曲线C上的点到直线l的距离d＝＝，

当（k∈Z），

所以，即，，

故P（）．

6.(2024?四川内江三模?理T22．)在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，曲线C的极坐标方程为．

（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0）时，|PA|+|PB|的值．

【解析】（1）曲线C2：，可以化为，ρ7＝2ρcosθ﹣2ρsinθ，

因此，曲线C的直角坐标方程为x3+y2﹣2x+2y＝0…

它表示以（7，﹣1）为圆心、．

（2）当时，直线的参数方程为

点P（1，0）在直线上，把

代入x2+y2﹣2x+2y＝6中得…

设两个实数根为t8，t2，则A，B两点所对应的参数为t1，t8，

则，t1t2＝﹣5…∴…

7.(2024?安徽蚌埠三模?文T22．)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2asinθ（a＞0），曲线C与l有且只有一个公共点．

（1）求实数a的值；

（2）若A，B为曲线C上的两点，且∠AO