2024年高考数学真题和模拟题分类汇编专题18坐标系与参数方程含解析.docxVIP

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专题18坐标系与参数方程

解答题

1.(2024?高考全国甲卷?理T22)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)设点A的直角坐标为,M为C上的动点,点P满意,写出Р的轨迹的参数方程,并推断C与是否有公共点.

【解析】(1)由曲线C的极坐标方程可得,

将代入可得,即,

即曲线C的直角坐标方程为;

(2)设,设

则,即,

故P的轨迹的参数方程为(为参数)

曲线C的圆心为,半径为,曲线的圆心为,半径为2,

则圆心距为,,两圆内含,

故曲线C与没有公共点.

2.(2024?高考全国乙卷?文T22)在直角坐标系中,的圆心为,半径为1.

(1)写出的一个参数方程;

(2)过点作的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.

【解析】(1)由题意,的一般方程为,

所以的参数方程为,(为参数)

(2)由题意,切线的斜率肯定存在,设切线方程为,即,

由圆心到直线的距离等于1可得,

解得,所以切线方程为或,

将,代入化简得

或.

3.(2024?河南郑州三模?理T22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为ρcos()=,曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4.

(Ⅰ)写出直线l和曲线C的直角坐标方程;

(Ⅱ)已知点A(1,0),若直线l与曲C线交于P,Q两点,PQ中点为M,求的值.

【解析】(1)直线的极坐标方程为ρcos()=,整理得ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0,依据,转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1=0.

曲线C的极坐标方程为ρ2(1+3sin2θ)=4.依据,转换为直角坐标方程为.

(2)把直线方程x﹣y﹣1=0转换为参数方程为(t为参数),代入直角坐标方程为.

得到,点P和Q对应的参数为t1和t2,

所以,,点M对应的参数为

故=.

4.(2024?河南开封三模?文理T22)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线C的直角坐标方程;

(2)设点P(0,2),若直线l与曲线C交于不同的两点A,B,求|PA|+|PB|的取值范围.

【解析】(1)曲线C的极坐标方程为,整理得ρ2+2ρ2sin2θ=3,

依据,整理得x2+3y2=3,

化简得曲线C的直角坐标方程为.

(2)联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程得:(tcosα)2+3(2+tsinα)2=3,

化简得(1+2sin2α)t2+12tsinα+9=0,

则,,

且△=144sin2α﹣36(1+2sin2α)>0,2sin2α﹣1>0,

则有,

则,

令,有,

所以|PA|+|PB|的取值范围为.

5.(2024?河南焦作三模?理T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π).

(Ⅰ)若曲线C与y轴负半轴的交点在直线l上,求α;

(Ⅱ)若tanα=,求曲线C上与直线l距离最大的点的坐标.

【解析】(Ⅰ)曲线C的参数方程为(φ为参数),

转换为直角坐标方程为.

曲线C与y轴的负半轴交于点(0,﹣1),

由于直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),

所以直线l恒过点(1,0).

所以直线的斜率k=1,即tanα=1,

整理得.

(Ⅱ)若tanα=,

所以直线的l的一般方程为,即,

曲线C上的点到直线l的距离d==,

当(k∈Z),

所以,即,,

故P().

6.(2024?四川内江三模?理T22.)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线C的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,若点P的直角坐标为(1,0)时,|PA|+|PB|的值.

【解析】(1)曲线C2:,可以化为,ρ7=2ρcosθ﹣2ρsinθ,

因此,曲线C的直角坐标方程为x3+y2﹣2x+2y=0…

它表示以(7,﹣1)为圆心、.

(2)当时,直线的参数方程为

点P(1,0)在直线上,把

代入x2+y2﹣2x+2y=6中得…

设两个实数根为t8,t2,则A,B两点所对应的参数为t1,t8,

则,t1t2=﹣5…∴…

7.(2024?安徽蚌埠三模?文T22.)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2asinθ(a>0),曲线C与l有且只有一个公共点.

(1)求实数a的值;

(2)若A,B为曲线C上的两点,且∠AO

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