章向量与坐标几何.pptx

第1章向量与坐标1.1向量的概念1.2向量的加法1.3数量乘向量1.4向量的线性关系与向量的分解1.5标架与坐标1.6向量在轴上的射影1.7两向量的数量积1.8两向量的向量积1.9三向量的混合积

在空间任意取点O,从O引出三个不共面的向量OE1E2E3那么,空间任意一个向量可以分解成的线性组合.并且,这里的x,y,z是唯一确定的.1.5标架与坐标

定义1.5.1空间中的一个定点O,连同三个不共面的有序向量的全体,叫做空间的一个标架,记做如果都是单位矢量,那么叫做笛卡儿标架;OE1E2E3如果两两互相垂直的笛卡儿标架叫做笛卡儿直角标架,简称直角标架.一般情况下,叫做仿射标架.

右手标架(右旋标架)左手标架(左旋标架)

定义1.5.2(1)式中的x,y,z叫做向量关于标架的分量或称为坐标,记做或或{x,y,z}.ABCD例1（如图）四面体ABCD中即及A点构成了一个空间标架.问题:的坐标?

ABCD的坐标分别为:

定义1.5.3对于取定了标架的空间中任意点P,向量叫做点P的径矢,径矢关于标架的分量(或坐标)x,y,z叫做点P关于标架的坐标,记做P(x,y,z)或(x,y,z).PO空间点也称为空间坐标系.O称为坐标原点，称为坐标矢量.类似地,有右手坐标系,左手坐标系,笛卡儿坐标系等.

特别约定:若是直角坐标系(即是单位矢量且两两互相垂直),记为以后经常采用右手直角坐标系.横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系过O点沿着三个坐标矢量的方向引三条轴Ox,Oy,Oz.即空间坐标系也可以用三个轴Ox,Oy,Oz来表示.记做O-xyzOx,Oy,Oz叫做坐标轴,依次叫做x轴、y轴、z轴.

Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ坐标面与卦限(+,+,+)(-,+,+)(-,-,+)(+,-,+)(+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-)

空间直角坐标系有一个原点,三个坐标轴,三个坐标面,八个卦限.xyzO

xyzOx轴上点的坐标特点(a,0,0)y轴上点的坐标特点(0,b,0)z轴上点的坐标特点(0,0,c)xOy面上点的坐标特点(a,b,0)yOz面上点的坐标特点(0,b,c)xOz面上点的坐标特点(a,0,c)坐标原点O的坐标(0,0,0)

如果我们将视野限制在平面上,类似地,利用矢量可以引入平面上的标架和点的坐标概念.在平面上取定一个点O和两个不共线的矢量O构成平面上的坐标架平面上的点过点O分别沿的方向,引两轴Ox,Oy.xy这就是坐标轴,构成的坐标系记为O-xy.同样,平面直角坐标系记为Oxy分右手系和左手系.通常用右手系.

用坐标进行矢量的运算1.用矢量的终点、始点的坐标表示矢量的分量（坐标)在坐标系中，矢量的始点P1和终点P2的坐标分别为：OP1P2求的坐标（或分量）解：连接OP1,OP2，已知所以，

定理1.5.1向量的分量等于其终点的坐标减去其始点的相应坐标.2.用向量的分量进行向量的线性运算设向量定理1.5.2定理1.5.3事实上由下式可得:事实上由下式可得:

3两个向量共线，三向量共面的条件定理1.5.4已知两个非零向量共线的充要条件是答:约定:分母为0分子为0.

定理1.5.5已知三个非零向量共面的充要条件是答:

4线段的定比分点坐标证连接OP1,OP2，OP由及OP1P2P

整理,可得设将分别代入上式后,比较两边同名坐标,可得OP1P2P证连接OP1,OP2，OP由及

OP1P2P3M3M1M2重心为G，G而M1的坐标为例2已知三角形三顶点为试求重心的坐标(即三角形三中线的公共点的坐标).解设三中线分别为即G点是有向线段的定比为2的分点,

所以重心G的坐标为

1.6矢量在轴上的射影1.点在轴上的射影过点A作轴l的垂直平面a,交点即为点A在轴l上的射影.平面a

2.射影向量与射影即这里x叫做向量在轴l上的射影。记做射影射影向量射影向量

３的计算及性质给定两个矢量则间的夹角规定如下:作OAB则将由射线OA与OB构成的在0与p之间的角,叫做向量p之间的角,叫做间的夹角.记做

定理1.6.1证定理1.6.1的说明：射影为正；射影为负；射影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；

证明得即

证(如图)隐藏

所以,由得所以即证毕.隐藏

定理1.6.3定理1.6.1证明:用定理１.6.1,分l=0;0;0讨论！

定理1.6.3证明:证毕.隐藏

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