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2.3.1利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换一些常用函数的拉氏变换拉氏逆变换的性质????????例5已知求解所以例6已知求解所以??2.3.2利用留数定理求拉氏逆变换定理：设除在半平面内有限个孤立奇点外是解析的，且当时，，则有即2.4拉普拉斯变换的应用
2.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例7求微分方程满足初始条件的解解设?对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解得所以2.1拉普拉斯变换的概念2.2拉普拉斯变换的性质2.3拉普拉斯逆变换2.4拉氏变换的应用及综合举例在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为§2.1拉普拉斯变换§2.1.1拉普拉斯变换的概念定义1设函数当有定义,而且积分是一个复参量）我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做?叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,=?的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数§2.1.2拉普拉斯变换存在定理
若函数满足下列条件Ⅰ在的任一有限区间上连续或分段连续,时,Ⅱ当时,及,使得成立,则函数的拉氏变换在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数§2.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换例2求单位阶跃函数的拉氏变换
解?例1求单位脉冲函数的拉氏变换
解?一些常用函数的拉氏变换是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有§2.1.4周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式的周期函数,即可以证明:若?2.2拉普拉斯变换的性质2.2.1线性性质设为常数则????2.2.2相似性质
若=?则??2.2.3平移性质
（1）象原函数的平移性质
为非负实常数,则???若（2）象函数的平移性质为实常数,则??若(为正整数).例3求解因为????所以??则2.2.4微分性质
（1）象原函数的微分性质
一般地,??若?特别地,当时,?可以证明?（2）象函数的微分性质
若则?从而????例4求函数解因为同理,???所以,?2.2.5积分性质
若?则??（1）象原函数的积分性质一般地?且积分收敛若?则??（2）象函数的积分性质一般地?或推论若则?且积分收敛2.2.7拉氏变换的卷积与卷积定理(1)上的卷积定义若函数满足,时都为零,称为函数在上的卷积.则可以证明卷积(2)拉氏变换的卷积定理若则????2.3拉普拉斯逆变换
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.我们简单介绍留数法和查表法.根据拉普拉斯变换的定义右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.
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