算法分析与设计结课作业汇总.docx

一、动态规划算法

1问题描述

动态规划是一种递归思想的算法，用于求解具有重叠子问题和最优子结构的问题。动态规划通过将原问题分解为一系列子问题，并在子问题之间共享相同的状态信息，以更高效地求解问题。典型的动态规划问题包括背包问题、矩阵连乘问题、最长公共子序列问题等。

2算法原理

动态规划是一种基于递归思想的算法，其主要思路是将原问题分解为若干个子问题，并将子问题的解用于求解原问题。动态规划需要满足两个基本条件，即重叠子问题和最优子结构。其中，重叠子问题指的是在递归求解的过程中会遇到重复的子问题；最优子结构指的是原问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解来求解。

动态规划算法的具体实现通常包含三步：

1.定义状态：定义状态是动态规划算法的第一步，它是指将原问题分解成子问题后，需要记录子问题的状态信息。在定义状态时，需要考虑子问题所具有的属性和特征。对于某些问题，可以定义状态为一个数字、一个字符串、一个矩阵等不同的形式。

2.定义状态转移方程：定义状态转移方程是动态规划算法的核心步骤。在这一步中，需要根据子问题之间的转移关系，将原问题转化为子问题，并利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。状态转移方程通常使用递推公式来表示。

3.初始化：初始化是指将最小子问题的解初始化为一个常数值或者一个初始状态。在算法执行过程中，每次求解一个新的子问题时，都会使用该子问题的最优解来更新状态，直到求解出原问题的最优解。

3算法公式

在动态规划算法中，最常用的是记忆化有哪些信誉好的足球投注网站和自底向上（Bottom-up）动态规划。以下是两种算法的基本公式：

1.记忆化有哪些信誉好的足球投注网站：

定义一个函数f(i)，表示求解S[i:]的最优解，其中S[i:]表示字符串S中从位置i开始到末尾的子串。

则有：

f(i)=min{f(j)+cost(i,j)}，其中j是满足i≤jlen(S)的值，并且cost(i,j)表示从位置i转移到位置j所需的代价。

记忆化有哪些信誉好的足球投注网站通常使用一个数组memo来记录已经求解过的子问题的答案。在求解f(i)时，先检查memo[i]上是否存在答案，如果存在则直接返回，否则利用上述公式求解f(i)。

2.自底向上（Bottom-up）动态规划：

定义一个数组dp，其中dp[i]表示求解S[:i]的最优解，其中S[:i]表示字符串S中从开头到位置i的子串。

则有：

dp[0]=0

dp[i]=min(dp[j]+cost(i,j))，其中j是所有满足ji且cost(i,j)不为无穷大的值。

自底向上动态规划的主要思想是，先求解最小子问题的最优解，然后将该最优解存储在dp数组中，并以此为基础逐步求解更大规模的子问题的最优解。

4伪代码

1.记忆化有哪些信誉好的足球投注网站：

functionmemorizationSearch(S,i,memo):

ifi==len(S):

return0

ifmemo[i]!=null:

returnmemo[i]

res=INF

forjinrange(i,len(S)):

res=min(res,memorizationSearch(S,j+1,memo)+cost(i,j))

memo[i]=res

returnres

2.自底向上（Bottom-up）动态规划：

functionbottomUpDP(S):

n=len(S)

dp=[0]*(n+1)

foriinrange(1,n+1):

dp[i]=INF

forjinrange(i):

dp[i]=min(dp[i],dp[j]+cost(i,j))

returndp[n]

5实际应用

动态规划算法在实际应用中广泛使用，以下是几个常见的例子。

1.背包问题：背包问题是动态规划算法的一个经典应用，其主要目标是在给定的容量下填充价值最大的物品。背包问题的解决方案包括0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题等。

2.矩阵连乘问题：矩阵连乘问题是另一个经典应用，其目标是在给定的矩阵序列中找到一个最小的乘法次数，从而得到一个矩阵连乘的最优解。

3.最长公共子序列问题：最长公共子序列问题是一种字符串匹配问题，其目标是给定两个字符串，找到它们的最长公共子序列。

4.最短编辑距离问题：最短编辑距离问题是另一个字符串匹配问题，其目标是给定两个字符串，找到将一个字符串