2.3 圆与圆的位置关系【同步精讲】(原卷版).docVIP

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第1章 直线与方程

第01讲直线的斜率与倾斜角

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课程标准

重难点

1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．

2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.

1.根据圆与圆的位置关系确定两者之间的公切线个数

2.公共弦方程

知识精讲

知识精讲

知识点一圆与圆的位置关系

1．圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．

2．圆与圆位置关系的判定

(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

图示

d与r1、r2的关系

d＞r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|＜d＜r1＋r2

d＝|r1－r2|

d＜|r1－r2|

(2)代数法：设两圆的一般方程为

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F10)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F20)，

联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

方程组解的个数

2组

1组

0组

两圆的公共点个数

2个

1个

0个

两圆的位置关系

相交

内切或外切

外离或内含

3.【概念解读】

几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判定方法一样，能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判定两圆的位置关系问题．

能力拓展

能力拓展

考法01圆与圆的位置关系

例1设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为

例1

【跟踪训练】

1．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是_________________．

【答案】(－2，0)∪(0,2)

【解析】圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，

圆心坐标为(a，a)，半径为2.

依题意得0＜＜4，

∴0＜|a|＜2.∴a∈(－2，0)∪(0,2)．

2．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

【方法总结】

(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．

(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．分层提分

分层提分

题组A基础过关练

1．若圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段的长是（）

A． B． C．4 D．

2．圆和圆的公共弦的垂直平分线的方程是（）

A． B．

C． D．

3．圆和圆的位置关系为（）

A．内切 B．相交

C．外切 D．外离

4．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

5．直线被圆截得的弦长为，则实数______；圆与圆的公共弦所在直线方程是______．

6．两圆与的公切线有___________条.

7．在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.

8．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是________．

题组B能力提升练

1．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（）

A．2 B． C．2 D．1

2．过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（）

A． B． C． D．

3．已知两圆相交于两点，，两圆圆心都在直线上，则的值为（）

A． B． C． D．

4．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

5．圆和圆只有一条公切线，若，，且，则的最小值为___________.

6．已知半径为5的动圆的