2.2 直线与圆的位置关系【同步教案】(解析版).docxVIP

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2.2直线与圆的位置关系

2.2直线与圆的位置关系

讲

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教材知识梳理

教材知识梳理

1.直线与圆的位置关系：相交、相切、相离

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

2个

1个

0个

判断方法

几何法：

设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))

dr

d＝r

dr

代数法：

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,?x－a?2＋?y－b?2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ

Δ0

Δ＝0

Δ0

2.直线与圆的位置关系的判断方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．

(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．

(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．

3.求过某一点的圆的切线方程

(1)点(x0，y0)在圆上．

①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．

②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.

(2)点(x0，y0)在圆外．

①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．

②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．

③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．

4.直线与圆相交时的弦长求法

几何法

利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题

代数法

若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长

弦长公式法

设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长

l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2])

例

例

例题研究

例题研究

判断直线与圆的位置关系

判断直线与圆的位置关系

题型探究

题型探究

例题1

已知函数与，若存在实数使成立，则称，是函数与的一对“望点”，若，，则函数与“望点”的对数为（）

A．2 B．0 C．4 D．1

【答案】D

【分析】

作函数的图象，再作该图关于原点对称，判断与函数的图象有几个交点，即可判断“望点”的对数．

【详解】

如图：

令，得，它表示圆心在，

半径为1的半圆（轴非下方），作出这个半圆及其关于原点成中心对称的半圆，

则轴右侧半圆圆心坐标为，半径为1．

点到直线即的距离，

故该直线与半圆相切，公共点只有一个，

所以函数与“望点”的对数为1．

故选：D

例题2

已知圆和直线，则（）

A．圆与直线相交 B．圆与直线相离

C．圆上的点与直线的最大距离为 D．圆上的点与直线的最大距离为

【答案】D

【分析】

计算出圆心到直线的距离，可判断AB选项的正误，利用圆上的点到直线的最大距离为可判断CD选项的正误.

【详解】

圆的圆心为，半径为，

圆心到直线的距离为，所以，圆与直线相切.

圆上的点到直线的最大距离为，ABC选项错误，D选项正确.

故选：D.

【点睛】

方法点睛：利用直线与圆的位置关系求参数的取值范围，方法如下：

（1）代数法：将直线的方程和圆的方程联立，消去一个元（或），得到关于另外一个元的一元二次方程.

①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；

②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；

③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离；

（2）几何法：计算圆心到直线的距离，并比较与圆的半径的大小关系.

①若，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；

②若，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；

③若，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.

跟踪训练

跟踪训练

训练1

已知直线，其中为常数且．有以下结论：

①直线的倾斜角为；

②无论为何值，直线总与一定圆相切；

③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；

④若是直线上的任意一点，则．

其中正确结论的个数为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.

【详解】

对于①，直线的倾斜角的取值范围为，与角a的不同，故①错误；

对于②，点到直线的距离为，则