2024—2025学年广东省深圳市宝安区高三上学期第一次调研测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年广东省深圳市宝安区高三上学期第一次调研测试数学试卷

一、单选题

(★)1.样本数据的第30百分位数为（）

A．7

B．7.5

C．8

D．8.5

(★)2.已知集合，，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)3.若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知向量，，若，则（）

A．2

B．0

C．1

D．-2

(★★)5.已知，，则（）

A．m

B．

C．

D．

(★★)6.一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知函数为，在R上单调递增，则a的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)8.函数在上的零点个数为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★)9.已知变量服从正态分布，当变大时，则（）

A．变小

B．变大

C．正态分布曲线的最高点下移

D．正态分布曲线的最高点上移

(★★★)10.对于正数a，b，，使，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)11.已知函数的定义域为R，若，且，则（）

A．

B．无最小值

C．

D．的图象关于点中心对称

三、填空题

(★★)12.已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为______.

(★★★)13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，M为AB的中点，则线段CM的长为______.

(★★★)14.为了回馈长期以来的顾客群体，某健身房在五周年庆活动期间设计出了一种游戏活动，顾客需投掷一枚骰子两次，若两次投掷的数字都是偶数，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有2次终极抽奖机会（2次抽奖结果互不影响）；若两次投掷的数字之和是5或9，则该顾客获得该健身房的免费团操券5张，且有1次终极抽奖机会；其余情况顾客均获得该健身房的免费团操券3张，不具有终极抽奖机会.已知每次在终极抽奖活动中的奖品和对应的概率如下表所示.

奖品

一个健身背包

一盒蛋白粉

概率

则一位参加游戏活动的顾客获得蛋白粉的概率为______.

四、解答题

(★★★)15.如图，在直角中，，，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点C为上的点，且.

(1)求点O到平面PAB的距离；

(2)设直线OC与平面PAB所成的角为，求的值.

(★★★)16.已知椭圆C：，离心率，且点在椭圆上.

(1)求该椭圆的方程；

(2)直线l交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0，且，求的面积.

(★★★★)17.函数．

(1)若，求函数的最大值；

(2)若在恒成立，求实数m的取值范围．

(★★★)18.甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分；然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为p，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.

(1)求p；

(2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望；

(3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：.

(★★★★)19.定义：任取数列中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为3，则称数列具有“性质3”.已知项数为n的数列的所有项的和为，且数列具有“性质3”.

(1)若，且，，写出所有可能的的值；

(2)若，，证明：“”是“”的充要条件；

(3)若，，，证明：或，（）.