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2.2基本不等式6种常见考法归类

知识点1：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）

其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．

知识点2：基本不等式的几何意义

如图，是圆的直径，点是上的一点，,，

过点作交圆于点D，连接、.

易证，那么，即.

这个圆的半径为，它大于或等于，即，

其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.

知识点3：利用基本不等式求最值

①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；

②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；

知识点4：基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

知识点5：三个正数的基本不等式

如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）

考点一利用基本不等式求最值

（一）直接法

1.若，则的最小值为；

2.设，则的最小值为（????）

A．5 B．3 C．4 D．9

3.已知，则的最大值为.

4.已知，若，则的最大值为．

5.已知，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．2

6.若，，，则的取值范围是.

7.已知，则的最大值为（????）

A． B．1 C． D．2

8.，的最大值为_________.

9.当时，函数的最大值为.

（二）配凑法求最值

（1）凑项

1.若，则函数最大值为.

2.若，则的最小值为__________．

3.函数的最小值为（????）

A． B． C． D．

4.已知实数满足，则的最大值为（????）

A． B．0 C．4 D．8

5.当时，的最小值为10，则（????）

A．1 B． C．2 D．4

（2）凑系数

1.已知，则取得最大值时x的值为（????）

A． B． C． D．

2.已知，则当取最大值时，的值为（????）

A． B． C． D．

3.已知，求的最大值.

4.已知，则的最大值为________.

（3）分离

1.当时，函数的最小值为（????）

A．B．C． D．4

2.已知，则函数的最小值是．

3.函数的最小值为．

4.已知，则的最小值为___________.

5.函数的最小值为___________.

6.函数的最大值为________.

（三）常数代换法

1．【多选】已知正数a，b满足，则（????）

A．ab的最大值为 B．的最小值为4

C．的最小值为 D．的最大值为

2．【多选】已知实数，且，则下列结论正确的是（????）

A．ab的最小值为 B．的最小值为

C．的最小值为6 D．

5．【多选】已知，且，则（????）

A．的最小值是B．的最小值是4

C．的最小值是8D．的最小值是

6．若，则的最小值是．

7．已知，下列说法正确的是（????）

A．的最大值为8B．的最小值为2

C．有最小值D．有最大值4

8.已知正实数，满足，则的最小值为（????）

A．3 B．1 C．9 D．

10.已知正实数，满足，则的最小值是（????）

A．1 B． C． D．

11.已知正数满足恒成立，则的最小值为（????）

A． B． C．2 D．3

（四）消元法

1.已知，若，则的最小值为______

3.已知正实数x，y满足，则的最大值是.

4.已知，且，则的最小值为__________.

5.若正数，满足，则的最大值为__________．

6.已知正实数，满足，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

（五）换元法

2.已知，，且，则下列结论正确的是（????）

A．的取值范围是 B．的取值范围是

C．的最小值是 D．的最小值为

3.．【多选】已知，，且，则（????）

A．的最大值为B．的最小值为

C．的最小值为D．的最小值为16

4.已知，则的最大值为

例7若实数、满足，则的最大值为（）

A．B．C．D．

（1）若，，且，则的最小值为（）

A．4B．C．D．

（2）设x，y是正实数，且，则的最大值是.

（3）已知正数满足，则的最小值为.

（5）设a＞b＞0，则最小值为（）

例8.实数a，b，c满足，，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2.已知正实数a，b，c满足，当取最小值时，下列说法正确的是