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以三角板为背景的几何命题探究

作者：兰洲

来源：《数学教学通讯初中版》初中版》·2021年第04期

[摘要]三角板是学生常用的作图工具，以三角板为基础综合数学内容命制的考题在中考

中十分常见，如三角板与旋转、三角板与圆、三角板与反比例函数、三角板与平移等.文章将

探究三角板相关考题的知识背景，結合实例剖析问题的解析思路，提出相应的教学建议，与读

者交流.

[关键词]三角板;旋转;圆;反比例函数;平移

背景综述

在培养学生动手能力，提升学生探究思维“”的教学理念下，近几年中考越发注重以学生熟

悉的几何图形为载体来综合命制考题，考查学生的实践能力、解析思维.三角板是学生常用的

作图工具，由于三角板的边与角的特殊性，使其含有丰富的数学知识与规律，以其为背景融合

几何图形、函数曲线，不仅极具创新性，还能较好地考查学生的探究归纳能力、运用思想方法

的能力等.这类问题往往立足基本的几何性质，综合图形运动、三角函数、曲线图像等知识，

立意新颖、知识点众多，如求解叠放三角板旋转角度，分析三角板与圆的综合，思考函数曲线

中的三角板位置，探究三角板平移过程等.

实例探索

1.三角板旋转中的角度大小

例1年齐齐哈尔市中考卷第9题）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个

含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时

针旋转，使BC∥DE，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为______.______.

解析：本题目中将两个45°角和30°角的三角板叠放，并将45°角三角板围绕点A顺时针旋

转.问题解析需要关注两点：一是两三角板叠放的位置，二是三角板旋转过程.突破的关键条件

是BC∥DE，可利用平行特性进行角度推导.

因为因为BCBC∥DE，则∠CFA∠D=90°，又因为∠CFA∠B+∠BAD=60°+∠BAD，则

∠BAD=30°，即旋转角∠BAD的度数为30°.

点评上述分析叠放三角板旋转中的角度，实则考查平行线的性质以及外角的性质，解析

过程要关注叠放三角形的位置关系，把握三角板旋转的三要素.结合三角板的相对关系及角度

特性构建角度模型.

2.三角板与圆的结合探究

例2将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，

∠ABC=45°）如图3所示摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合.以AB

为直径的圆经过点C，且与AD交于点E，分别连接EB，EC.EC.

（1）求证：EC平分∠AEB;AEB;

（2）求的值.

解析：本题目将三角板与圆相结合，构建了复合模型，两小问分别求证角平分和三角形面

积比值.其中两个三角板的相对位置是解析的关键，另外在求解面积比值问题时要合理构建面

积模型，将其转化为线段比值问题.

（1）由条件可得∠BAC∠ABC=45°，由圆周角定理可得∠AEC∠ABC，

∠BEC∠BAC，等量代换可得∠BEC∠AEC，则EC平分∠AEB.

（2）设AB与EC的交点为M，由角平分线的性质可得，分析可得∠BAD=30°，由直

径所对的圆周角为直角可得∠AEB=90°，通过解Rt△AEB可得AE=BE，所以==.

分别过点A和B作EC的垂线，设垂足为点F和G，如图4所示.则△ACE的面积为S

CE·AF，△BEC的面积为S=CE·BG，=.分析可证Rt△AFM∽Rt△BGM，由三角形相似性质

可得=，所以的值为.

评析上述将两个三角板进行叠放，并以其中一斜边构建了圆，从而使图形中不仅含有三

角形特性，还涉及了几何圆性质.一般求证角平分需通过等角代换进行推导，而解析三角形面

积比值关系时，可将其转化为线段之比.在几何中，线段之比的解法有三种思路：一是直接通

过线段长度关系转化，二是由三角形相似性质推导，三是构建直角模型，利用三角形函数.

3.三角板与反比例函数融合