2024年上海市华东师范大学第二附属中学九年级自主招生考试数学试卷含详解.docx

东师大二附中2023学年初三年级自招飞行考

数学试卷

2023年10月13日60分钟

一,填空题

1.为不相等实数,满足,且,则______．

2.如图,有一系列正方形,则的坐标为_______．

3.有11个女孩,个男孩,每个孩子摘得相同数目的桃子,共摘个桃子,则男孩有______个．

4.对一切实数,有成立,则的最大值为_____．

5.设二次函数与轴交点为,,已知,到原点的距离均小于1,且,,为正整数,则的最小值为_____．

6.一个边形的一个外角为,与这个外角不相邻的所有内角和为,则与的关系是________．

7.已知在中,无论取任何实数,均满足,则的形状为________．

8.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E为AD上一点,且∠ABE=30°,将△ABE沿BE翻折,得到△A′BE,连接CA′并延长,与AD相交于点F,则DF长为______．

二,解答题

9.已知抛物线,为常数,)的顶点为,与轴相交于,两点(点在点的左侧),与轴相交于点,抛物线上的点的横坐标为,且,过点作,垂足为．

（1）若．

①求点和点的坐标.

②当时,求点的坐标.

（2）若点的坐标为,且,当时,求点的坐标．

10.如图,在△ABC中,∠C＝90°,∠ABC平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线交AB于点F,⊙O是△BEF的外接圆．

(1)求证：AC是⊙O切线.

(2)过点E作EH⊥AB,垂足为H,求证：CD＝HF.

(3)若CD＝1,EH＝3,求BF及AF长．

11.已知为正整数,且满足．

（1）对于所有满足条件的,求的最大值.

（2）若满足：恰有个使不等式成立,则称为“阶好数”,所有“阶好数”的个数记为,求函数的解析式．

东师大二附中2023学年初三年级自招飞行考

数学试卷

2023年10月13日60分钟

一,填空题

1.为不相等实数,满足,且,则______．

【答案】4

【分析】本题考查了二次函数的性质,先根据求出,进而可求出的值．

【详解】解：∵.

∴与关于抛物线的对称轴对称．

∵抛物线的对称轴是直线.

∴.

∴.

∴．

故答案为：4．

2.如图,有一系列正方形,则的坐标为_______．

【答案】

【分析】本题考查了图形坐标规律变化类问题,根据图形可得,,,,即得圆心的序号为偶数时,横坐标为,纵坐标为,据此即可求解,根据图形找到变化规律是解题的关键．

【详解】解：由图得到,,,,.

即圆心的序号为偶数时,横坐标为,纵坐标为.

∴的坐标为.

故答案为：．

3.有11个女孩,个男孩,每个孩子摘得相同数目的桃子,共摘个桃子,则男孩有______个．

【答案】19或4

【分析】本题主要考查因式分解的应用．根据题意,先写出的形式,再根据30能被整除,即可得出答案．

【详解】解：,能被整除.

能被整除.

或.

或.

答：有19个或4个男孩．

故答案为：19或4．

4.对一切实数,有成立,则的最大值为_____．

【答案】

【分析】本题主要考查了二次函数．熟练掌握二次函数的图象和性质,建立函数模型,求出函数的最大值和最小值,是解决问题的关键．

设,则,当时,,当或8时,,得到,根据,即得k的最大值为．

【详解】设.

则

.

当时,.

当或8时,.

∵.

∴.

由题意.

∴k的最大值为．

故答案为：．

5.设二次函数与轴的交点为,,已知,到原点的距离均小于1,且,,为正整数,则的最小值为_____．

【答案】11

【分析】本题考查了抛物线与轴交点．掌握抛物线的性质是解题的关键．

先根据题意得到方程的两根都在到0之间,进而得到,,且,再由不等式的基本性质可求出的取值范围,再根据,,之间的关系即可求解．

【详解】解：∵,,为正整数.

∴.

∴抛物线对称轴在y轴左边,且与y轴交于正半轴.

∵二次函数与轴的交点为,,已知,到原点的距离均小于1.

∴方程的两根都在到0之间.

∴当时,,则,一元二次方程的两根,且①.

可见②,且.

∴,可得③.

由③得,,故.

又∵,分别取,,的最小整数5,5,1．

经检验,符合题意.

所以最小．

故答案为：11．

6.一个边形的一个外角为,与这个外角不相邻的所有内角和为,则与的关系是________．

【答案】

【分析】此题考查了多边形的内角与外角,熟记多边形的内角和公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式求解即可．

【详解】解：根据题意得.

.

解得.

故答案为：．

7.已知在中,无论取任何实数,均满足,则的形状为________．

【答案】直角三角形

【分析】本题主要考查了平面向量,三角形的加法,垂线段最短,利用几何法构造是解题的关键．作,恒成立,则即可．

【详解】解：作,如图：

∴恒成立.

当时,取得最小值.

∴为直角三角形．

故答案为：直角三角形．