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*3.6三元一次方程组及其解法
课题
三元一次方程组及其解法
课型
新授课
教学内容
教材第124-128页的内容
教学目标
1.了解三元一次方程组的概念.
2.会解简单的三元一次方程组.
3.通过探索解三元一次方程组的过程,进一步了解“消元”思想,体会“化未知为已知”的化归思想在数学中的应用.
4.能用三元一次方程组解决某些实际问题.并通过列方程组解决实际问题,培养学生应用数学的能力,体会数学与实际生活的联系.
教学重难点
教学重点:会用消元法解简单的三元一次方程组.
教学难点:根据方程组的特点,选择消哪个元,选择用什么方法消元.
教学过程
备注
1.创设情境,导入课题
许多实际问题涉及的未知数往往不止两个,如本章“数学史话”--“方程”的由来.
“方程”中的第一题:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.”
按今天的算法,即设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)分别可出谷子(实)x,y,z(斗),于是得含三个未知数的方程组:
这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢?又怎样求出这个方程组的解呢?(提示课题:三元一次方程组及其解法)
2.观察探究,学习新知
【归纳总结】上面这种由三个一次方程组成,且含三个未知数的方程组,叫作三元一次方程组.
【思考】解二元一次方程组的消元法(加减法和代入法)是否也能用来解三元一次方程组呢?
【师生活动】同学交流讨论,老师引导学生一起探究.
【教材例题】
例1解方程组:
x+y+2z=3,①
-2x-y+z=-3,②
x+2y-4z=-5.③
解:先用加减消元法消去x.
②+①×2,得y+5z=3.④
③-①,得y-6z=-8.⑤
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.
④-⑤,得11z=11,
z=1.⑥
将⑥代入④,得y=-2.
将y,z的值代入①,得x=3.
所以x=3,
y=-2,
z=1.
例2某营养餐应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐,其中包含A,B,C三种食物.下表给出的是每份(50g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.
食物
铁/单位
钙/单位
维生素/单位
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
(1)设配餐中A,B,C三种食物分别为x,y,z份,请根据题意列出方程组;
(2)解该三元一次方程组,求出满足要求的A,B,C的份数.
解:(1)设配餐中A,B,C三种食物分别为x,y,z份,由题意得
5x+5y+10z=35,①
20x+10y+10z=70,②
5x+15y+5z=35.③
(2)由①得x=7-y-2z.④
将④代入②③,得y+3z=7,⑤
2y-z=0.⑥
解这个方程组,得y=1,
z=2.
将y=1,
z=2.代入④,得x=2.
所以
答:A种食物2份,B种食物1份,C种食物2份.
例3已知甲、乙两数之和为3,乙、丙两数之和为6,甲、丙两数之和为7,求这三个数.
解:设甲、乙、丙三数分别为x,y,z,由题意得
x+y=3,①
y+z=6,②
x+z=7.③
①+②+③,两边同除以2,得x+y+z=8.④
④-①得z=5,
④-②得x=2,
④-③得y=1.
答:甲、乙、丙三数分别为2,1,5.
【归纳总结】
解三元一次方程组的思路是通过消元,把方程组化为二元一次方程组,再转化为一元一次方程.
eq\x(三元一次方程组)eq\o(――→,\s\up7(消元))eq\x(二元一次方程组)eq\o(――→,\s\up7(消元))eq\x(一元一次方程)
解三元一次方程组的一般步骤:
(1)观察方程组的系数特点,确定先消哪个未知数.
(2)消元,得到一个二元一次方程组.
(3)解二元一次方程组,求出两个
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