3.6 三元一次方程组及其解法教学设计 （表格式） 沪科版数学七年级上册（2024年）新版教材.docxVIP

*3.6三元一次方程组及其解法

课题

三元一次方程组及其解法

课型

新授课

教学内容

教材第124-128页的内容

教学目标

1.了解三元一次方程组的概念.

2.会解简单的三元一次方程组.

3.通过探索解三元一次方程组的过程，进一步了解“消元”思想，体会“化未知为已知”的化归思想在数学中的应用.

4.能用三元一次方程组解决某些实际问题.并通过列方程组解决实际问题，培养学生应用数学的能力，体会数学与实际生活的联系.

教学重难点

教学重点：会用消元法解简单的三元一次方程组.

教学难点：根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.

教学过程

备注

1.创设情境，导入课题

许多实际问题涉及的未知数往往不止两个，如本章“数学史话”--“方程”的由来.

“方程”中的第一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何.”

按今天的算法，即设上、中、下等稻子（禾）每捆（秉）分别可出谷子（实）x，y，z（斗），于是得含三个未知数的方程组：

这个方程组和我们以前学过的二元一次方程组有什么区别呢？又怎样求出这个方程组的解呢？(提示课题：三元一次方程组及其解法)

2.观察探究，学习新知

【归纳总结】上面这种由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.

【思考】解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢?

【师生活动】同学交流讨论，老师引导学生一起探究.

【教材例题】

例1解方程组：

x+y+2z=3,①

-2x-y+z=-3，②

x+2y-4z=-5.③

解：先用加减消元法消去x.

②+①×2，得y+5z=3.④

③-①，得y-6z=-8.⑤

下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.

④-⑤，得11z=11，

z=1.⑥

将⑥代入④，得y=-2.

将y，z的值代入①，得x=3.

所以x=3，

y=-2，

z=1.

例2某营养餐应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含A，B，C三种食物.下表给出的是每份（50g）食物分别所含的铁、钙和维生素的量.

食物

铁/单位

钙/单位

维生素/单位

A

5

20

5

B

5

10

15

C

10

10

5

（1）设配餐中A，B，C三种食物分别为x，y，z份，请根据题意列出方程组；

（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数.

解：（1）设配餐中A，B，C三种食物分别为x，y，z份，由题意得

5x+5y+10z=35，①

20x+10y+10z=70，②

5x+15y+5z=35.③

（2）由①得x=7-y-2z.④

将④代入②③，得y+3z=7，⑤

2y-z=0.⑥

解这个方程组，得y=1，

z=2.

将y=1，

z=2.代入④，得x=2.

所以

答：A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.

例3已知甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7，求这三个数.

解：设甲、乙、丙三数分别为x，y，z，由题意得

x+y=3，①

y+z=6，②

x+z=7.③

①+②+③，两边同除以2，得x+y+z=8.④

④-①得z=5，

④-②得x=2，

④-③得y=1.

答：甲、乙、丙三数分别为2，1，5.

【归纳总结】

解三元一次方程组的思路是通过消元，把方程组化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程.

eq\x(三元一次方程组)eq\o(――→,\s\up7(消元))eq\x(二元一次方程组)eq\o(――→,\s\up7(消元))eq\x(一元一次方程)

解三元一次方程组的一般步骤：

(1)观察方程组的系数特点，确定先消哪个未知数．

(2)消元，得到一个二元一次方程组．

(3)解二元一次方程组，求出两个