湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高三第一次模拟考试数学试卷 Word版含解析.docx

衡阳县2025届高三第一次模拟考试卷

数学

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出后利用交集的定义可求.

【详解】,

而，

故，

故选：B

2.已知集合，则的元素个数为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.

【详解】当时，，当时，，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.

故选：C

3.已知向量，向量满足，若，则向量与的夹角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由数量积运算律、模的坐标公式得、，进一步求得的值，结合向量夹角公式即可求解.

【详解】因为，所以，

又，所以，

又，

，

设向量与的夹角为，则.

故选：C.

4.已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（）

A.2 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.

【详解】因为，均为正实数，且，得，

所以，

又，

当且仅当即时取等号，所以.

故选：B.

5.设为正实数，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的单调性和时，，可证明充分性；取特值可证明不必要性.

【详解】若，由函数在上为增函数，

所以，

又因为当时，，所以，

所以，故“”是“”的充分条件，

反之，若，当时，，

但，所以“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

6.函数在以下哪个区间上单调递增（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】对化简后求导，得到，再依次分析四个选项，结合余弦函数的图象得到的取值范围，判断导函数的正负，得到答案.

【详解】的定义域为R，

，

A选项，当时，，

此时，

故在单调递减，A错误；

B选项，时，，

此时，

故在单调递增，B正确；

C选项，当时，，

此时，

故在上单调递减，

，故在上不单调递增，C错误；

D选项，时，，

此时，

故在上单调递减，

，

故在上不单调递增，D错误.

故选：B

7.已知过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得点在圆内，从而可得当时，取得最小值，再由弦长公式，即可得到结果.

【详解】因为，所以点在圆内．

且圆的圆心为，半径为，

则，当时，取得最小值，且最小值为．

故选：D

8.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是

A B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意建立方程，再结合等比数列求和公式，即可求出的值.

【详解】设每年偿还的金额为，

则，

所以，

解得

故选D.

【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则（）

A.第三轮被传染人数为16人 B.前三轮被传染人数累计为80人

C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D.被传染人数累计达到1000人大约需要35天

【答案】CD

【解析】

【分析】根据已知条件，可转化为等比数列