专题4 函数与方程（零点问题、嵌套函数）(讲义) 原卷版_1.docx

专题4函数与方程

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

题型一：二分法

例1、（2015·辽宁朝阳·统考一模）方程的解所在的区间为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为方程的解就是函数的零点，

又因为

所以函数在区间内有零点，

又因为函数为定义域上的单调函数，所以函数的唯一零点在区间内，

所以方程的解所在的区间为

故选B.

考点：1、函数的零点与方程的根；2、对数函数.

例2、（2011·北京海淀·统考二模）函数的零点所在区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.

【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数在定义域上单调递增，且，

，所以存在唯一零点，且.

故选：C.

例3、（2020·湖北·校联考模拟预测）用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：开区间的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，

经过此操作后,区间长度变为，

用二分法求函数在区间上近似解,

要求精确度为，

，解得，

故选：C.

1．（2016·陕西商洛·统考二模）函数的零点所在的大致区间的

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.

【详解】函数,在x0上单调递增，

，

函数f（x）零点所在的大致区间是；

故选B

【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若确定零点所在的区间.

2．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的零点所在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.

【详解】易知函数在上单调递增，

又，，

由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是．

故选：C

3．（2014·广东惠州·统考一模）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（????）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

【答案】C

【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果.

【详解】根据二分法，结合表中数据，

由于

所以方程的一个近似根所在区间为

所以符合条件的解为1.4

故选:C.

题型二：求函数的零点或零点所在区间

例3、（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数的零点所在的区间为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出.

【详解】在上单调递增，在上单调递增，

函数在上单调递增，

∵，

，

，

函数的零点所在的区间为.

故选：C

例4、（2023·四川泸州·四川省叙永第一中学校校考一模）若函数在区间上不单调，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求导，对分类讨论，分与两种情况，结合零点存在性定理可得的取值范围.

【详解】，，

当时，在上恒成立，

此时在上单调递减，不合要求，舍去；

当时，则要求的零点在内，

的对称轴为，由零点存在性定理可得：

，故，

解得：，

故的取值范围.

故选：C

例5、