专题4.1 指数【六大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）_1.docx

专题4.1指数【六大题型】

【人教A版（2019）】

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【题型1根式与分数指数幂的互化】 2

【题型2指数式的化简】 4

【题型3根据指数式求参】 5

【题型4指数式的给条件求值问题】 6

【题型5指数幂等式及幂的方程问题】 7

【题型6指数幂等式的证明】 8

【知识点1根式与分数指数幂】

1．根式

(1)n次方根的定义与性质

定义

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*

性质

(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示；

(2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为；

(3)负数没有偶次方根；

(4)0的任何次方根都是0，记作

(2)根式的定义与性质

定义

式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数

性质

，

2．分数指数幂

整数指数幂

指数

幂中

的指

数从

整数

拓展

到了

有理

数

分数指数幂

正整数指数幂：

正数的正分数指数幂：

负整数指数幂：

正数的负分数指数幂：

规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1

规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义

注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.

【题型1根式与分数指数幂的互化】

【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（????）

A．-x=(-

C．(xy)

【解题思路】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.

【解答过程】A中，-x=-x12

B中，x-13

C中，xy-34=

D中，6y2=y

故选：C.

【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）化简-a

A．-a25 B．-a56

【解题思路】运用am

【解答过程】因为-a，所以-a

又因为-a=

所以-a3

故选：D.

【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（????）

A．-x=(-

C．x-13

【解题思路】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.

【解答过程】对于A选项：-x=-x12

对于B选项：6y2=-

对于C选项：x-13

对于D选项：当x0时，3(-x)234=

故选：C.

【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（????）

A．3a·-

C．(3b3

【解题思路】根据指数幂的运算性质，再结合指数幂的意义即可得到答案

【解答过程】对于A，由-a有意义可知a≤0，而当a0时，a

对于B，当x0时，x24=4

对于C，(3b3

对于D，(a-b

故选：D.

【知识点2指数幂的运算】

1．有理数指数幂的运算

(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质：

①(a0,r,s∈Q)；

②(a0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).

(2)指数幂的几个常用结论：

①当a0时，0；

②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；

③若(a0,且a≠1)，则r=s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂.

2．无理数指数幂及实数指数幂

(1)无理数指数幂

一般地，无理数指数幂(a0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a0)中指数x

的取值范围从整数逐步拓展到了实数.

(2)实数指数幂的运算性质：

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同.

整数指数幂

的运算性质

底数、指数

的取值范围

实数指数幂

的运算性质

底数、指数

的取值范围

m,n∈Z,a∈R

r,s∈R,且a0

m,n∈Z,a∈R

r,s∈R,且a0

n∈Z,a∈R,b∈R

r∈R,且a0,b0

【题型2指数式的化简】

【例2】（2023·全国·高一假期作业）1120

A．-13 B．13 C．4

【解题思路】利用指数幂的运算性质求解．

【解答过程】解：原式＝1-1-4

故选：D．

【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）化简a3b23ab2a1

A．ba B．ab C．a2

【解题思路】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.

【解答过程】a3b2

故选：B.

【变式2-2】（2023春·江西·高一校考期末）计算2-12

A．1 B．22 C．2 D．

【解题思路】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.

【解答过程】2-

故