第六章 数据的分析 知识归纳与题型突破（六类题型清单） （解析版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记 巧练（北师大版）.docx

第六章数据的分析知识归纳与题型突破（六类题型清单）

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01思维导图

02

02知识速记

一、算术平均数和加权平均数

一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.

要点：

平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.

要点：

（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重.数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

二、中位数和众数

1.中位数

一般地，n个数据按照大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.

要点：

（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.

2.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

要点：

（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.

区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

四、极差、方差和标准差

1.极差

一组数据中最大数据与最小数据的差，称为极差，极差＝最大数据－最小数据.

要点：

极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.

2.方差

方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.方差的计算公式是：

，其中，是，，…的平均数.

要点：

（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.

（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.

（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.

3.标准差

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：

；标准差的数量单位与原数据一致.

4.极差、方差和标准差的联系与区别

联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．

区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.

五、用样本估计总体

在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.

要点：

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.

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03题型归纳

题型一平均数

例题

1．一组数据10，9，10，12，9的平均数是（????）

A．11 B．12 C．9 D．10

【答案】D

【分析】利用平均数的求法求解即可．

【解析】这组数据10，9，10，12，9的平均数是

故选：D．

【点睛】本题主要考查平均数，掌握平均数的求法是解题的关键．

巩固训练

2．若一组数1，3，x，5，6的平均数为4，则x的值为（???）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据平均数的公式列出等式，求出等式中x的值即可.

【解析】解：依据依题意得

解得x=5.

故选C.

【点睛】本题考查算术平均数和解一元一次方程.能熟记平均数的计算公式并根据公式列出等式是解决本题的关键.

3．在一次编程比赛中，8位评委给参赛选手小李的打分如下：

9.0，9.0，9.2，10.0，9.0，9.2，9.0，9.2．

规定去掉一个最高分和一个最低分后的平均值做为选手的最后得分．小李的最