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应用二元一次方程组（提高）知识讲解

【学习目标】

1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解

方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型；

2．熟练掌握用方程组解决鸡兔同笼，增收节支，里程碑上的数等实际问题.

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系

1.和差倍分问题：

增长量＝原有量×增长率较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.

2.增收节支问题：

（1）增长（递减）率公式：

原来的量×（1+增长率）后来的量；原来的量×（1-递减率）后来的量；

（2）利润公式：

利润总收入-总支出；利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

；标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)

（3）银行利率公式：

利息本金×利率×期数.

本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数).

年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×.

要点诠释：

增收节支问题常常借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系，这种方法清晰明了，能够充

分突出解题过程．

3.行程问题：

速度×时间路程.

顺水速度静水速度+水流速度.

逆水速度静水速度-水流速度.

4.数字问题：已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例

如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思想

列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和

未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，

所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数

要相等.

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的

结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、鸡兔同笼问题

1.（2020济宁一模）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240

•

辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他

们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练

工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动

汽车．

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完

成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

【思路点拨】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽

车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；

（2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m

是整数讨论求解即可．

【答案与解析】

解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，

根据题意得，

解得．

答：每名熟练工每月可以安装4辆电动车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；

（2）设调熟练工m人，

由题意得，12（4m+2n）240，

整理得，n10﹣2m，

∵0＜n＜10，

∴当m1，2，3，4时，n8，6，4，2，

即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新

工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．

【总结升华】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系

列出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在

于考虑人数是整数．

举一反三：

【变式】《