人教B版高中数学必修第四册课后习题 第九章 9.2 正弦定理与余弦定理的应用.docVIP

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9.2正弦定理与余弦定理的应用

1.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在河岸边选定一点C,测出AC的距离为502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算A,B两点间的距离为()

A.100m B.503m

C.1002m D.200m

2.(河南高一期中)如图,一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为30m,地面上一人在A点观察该信号塔顶部,仰角为45°,沿直线步行1min后在B点观察塔顶,仰角为30°,若∠ADB=30°,此人的身高忽略不计,则他的步行速度为()

A.1m/s B.32

C.22m/s D.1

3.某炮兵阵地位于A点,两个观察所分别位于C,D两点,已知△ACD为等边三角形,且DC=3km,当目标出现在B点(A,B两点位于CD两侧)时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离约为()

A.1.1km B.2.2km

C.2.9km D.3.5km

4.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度是()

A.240(3-1)m

B.180(2-1)m

C.30(3+1)m

D.120(3-1)m

5.如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=35,则灯塔的高度是()

A.15 B.25

C.40 D.60

6.某船在A处看到灯塔S在北偏西40°方向,它向正北方向航行50海里到达B处,看到灯塔S在北偏西76°方向,则此时船到灯塔S的距离约为海里(sin40°≈0.6428,sin76°≈0.9703,sin36°=0.5878,结果精确到0.1).?

7.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°,且座位A,B间的距离为106米,则AN=米,旗杆的高度为米.?

8.如图所示,我国渔船编队在岛A周围海域作业,在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B,某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近,现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航,上级指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/时的速度向岛A直线航行以保护我国渔船编队,30分钟后到达D处,此时观测站测得B,D间的距离为21海里.

(1)求sin∠BDC的值;

(2)试问海警船再向前航行多少分钟方可到达岛A?

9.如图是一个以AB为直径的半圆形湖,AB=8(单位:百米),现在设计一个以AB为边的四边形ABCD,C,D在半圆上,设∠BOC=θ(O为圆心).

(1)在四边形ABCD内种植荷花,且∠COD=π3,当θ为何值时,荷花种植面积最大

(2)沿BC,CD和DA建造观景栈桥,且BC=CD,当θ为何值时,观景栈桥总长L最长?并求出总长L.

10.如图,我方炮兵阵地位于A处,两移动观察所分别设在C,D两处.已知△ACD为正三角形.当目标出现在点B时,测得BC=1千米,BD=2千米.

(1)若测得∠DBC=π3,求△ABC的面积

(2)若我方炮火的最远射程为4千米,试问目标B是否在我方炮火射程范围内?

9.2正弦定理与余弦定理的应用

1.A在△ABC中,AC=502m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,即∠ABC=30°,

由正弦定理得ABsin∠ACB=

2.D依题意,在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠CAD=45°,则AD=CD=30m.

在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,则BD=CDtan30°=30

在△ADB中,∠ADB=30°,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即AB2=302+(303)2-2×30×303cos30°=900,解得AB=30m.

所以此人的步行速度为12

3.C如图所示,∠CBD=180°-∠CDB-∠BCD=180°-45°-75°=60°,

在△BCD中,由正弦定理,得332=BDsin75°,故BD=2+62m.在△ABD中,∠

故炮兵阵地与目标的距离约为2.9km.故选C.

4.D由题意可知∠ABC=105°,∠BAC=45°,C=30°,所以AC=60sin

由正弦定理BCsin∠BAC=ACsin∠

即河流的宽度为120(3-1)m.

故选D.

5.B过点B作BE⊥DC于点E,过点A作AF⊥DC于点F,如图所示,

在△ABD中,由正弦定理得ABsin∠ADB=

所以AD=h