30°角用法重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册.docx

30°角用法重难点突破

30°角用法(一)直接用

类型一直接求

1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D为线段BC上一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=8,则DE+DF的值为.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AD的延长线上一点,∠AEB=90°,若AB=12,则△ABE的面积为()

A.18B.36C.93

类型二方程求

3如图,在△ABC中,∠A=60°,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD,CE交于点H,若CE=5,BD=7,则CHHE的值为

A.13B.12C.23

4.如图,在等边△ABC的三边上分别取点D,E,F.若ED⊥AB于点D,DF⊥AC于点F,FE⊥BC于点E,且AB=15,求CE的长.

30°角用法(二)构造用

类型一作垂构“369”

1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点E,且E为DB的中点,∠ACB=120°,∠DAC=30°.若EC=1,BC=3,求AC的长.

2.如图,在△ABC中,D是AB的中点,∠A=30°,∠CDB=45°,求∠ABC的度数.

3图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为BC上一点,E为AD上一点,∠CED=45°,∠BED=30°,AE=2.求EB的长.

4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是△ABC内一点,AB=BD,∠ABD=30°.求证:AD=CD.

类型二延长构“369”

5.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,,E为BC的中点,DE平分∠ADC,∠DAB=60°,则ABCD的值为

6.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠ADC=90°,∠A=30°,BC=1,AB=53

7.如图，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,∠BAD=∠ADE=60°,DE=3,AB=10,CE平分∠ACB,DE与CE相交于点E,则AD的长为()

A.4B.13C.6.5D.7

类型三借15°构30°

8.如图,在等腰△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,,D为AB上一点.BC的垂直平分线交CD于点E,∠BCD=15°.求证:AE=AC.

突破2630°角用法(一)直接用

1.4解:∵AB=AC,∠A=120°,

∴∠B=∠C=30°.

∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴

∴DE+

2.A解:延长AC,交BE的延长线于点F.

∵∠BAC=30°,∠ACB=90°,

∴

∵AD平分∠BAC,

∴∠FAE=∠BAE.

∵∠AEB=90°,

∴∠

∵AE=AE,

∴△AEB≌△AEF,

∴AF=AB=12,

∴

×6=18.故选A.

3.C解:∵∠A=60°,

CE⊥AB,BD⊥AC,

∴∠ACE=30°,∠ABD=30°,

∴CH=2DH,HB=2HE.

设DH=x,

则HB=7-x,CH=2x,

∴HE=5-2x.

∵HB=2HE,

∴7-x=2(5-2x),解得x=1,

∴CH=2,HE=3,

∴CHHE

4.解:∵ED⊥AB于点D,DF⊥AC于点F,FE⊥BC于点E,

∴∠AFD=∠BDE=∠FEC=90°,

∵∠A=∠B=∠C=60°,

∴∠BED=∠EFC=∠ADF=30°,

∴∠DFE=∠DEF=∠FDE=60°,

∴△DEF为等边三角形,

∴DF=EF=DE,

∴△ADF≌△BED≌CFE.

设CE=x,则CF=2x,

∴BD=CE=x,AD=CF=2x.

∵BD+AD=15,

∴x+2x=15.解得x=5.

∴CE=5.

突破2730°角用法(二)构造用

1.解:过点D作DF∥BC,交AC于点F,

∴∠DFC=∠ACB=120°,

∴∠DFA=60°.

∵∠DAC=30°,

∴∠DAF+∠DFA=90°,

∴∠ADF=90°,

∴AF=2DF.

∵∠DFC=∠ACB,∠DEF=∠BEC,DE=BE,

∴△DFE≌△BCE,

∴DF=BC=3,EF=EC=1,

∴AF=2DF=6,

∴AC=AF+FE+EC=6+1+1=8.

2.解:过点B作BE⊥AC于点E,连接DE,

∴∠AEB=90°.

∵∠A=30°,

∴

∵D是AB的中点,

∴

∴△B