构造等边三角形重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册.docx

构造等边三角形重难点突破

构等边(一)作平行

类型一作平行线构X型全等

1.如图,△ABC为等边三角形,D为CB的延长线上一点,∠ADF=∠DCF=60°.求证:BD=CF.

2.如图,在等边△ABC中,D是AB上一点,E是BC延长线上一点,且AD=CE,连接DE交AC于点F.

(1)求证:DF=EF;

(2)过点D作DH⊥AC于点H,求HFAC的值.

类型二作平行线构旋转全等

3.如图1,在等边△ABC中,M为AB上一点,N为CB的延长线上一点,∠MNB=∠MCB.

(1)求证:AM=BN;

(2)如图2,E为MC的中点,连接AE.求证:AN=2AE.

构等边(二)作等边三角形

类型一遇等边构等边

1如图,在四边形ABCD中,∠ADC=60°,AD=CD,AB=3,BC=5,连接BD,则BD的长不可能是()

A.3B.5C.7D.9

类型二遇60°角构等边

2.如图,在△ABC中,D,E分别为AB,BC上的点,∠CDE=∠ACB=60°,BD=CD,DE=5,AD=3,,则CD的长为.

C

3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=CD,AC,BD交于点O,∠AOB=60°.求证：(OB=OC.

突破24构等边(一)作平行

1.证明:过点D作DE∥AC交AB的延长线于点E.

∵△ABC为等边三角形,

∴AB=BC,∠BAC=∠ABC=60°.

∵DE∥AC,

∴∠EDB=∠ACB=60°,∠E=∠BAC=60°,

∴△DBE为等边三角形,

∴DB=BE=DE,

∴AB+BE=BC+DB,即AE=CD.

∵∠ADF=∠ABC=∠DCF=60°,

∴∠ADB+∠CDF=∠ADB+∠DAB,

∴∠DAB=∠CDF.

∵∠E=∠DCF=60°,

∴△ADE≌△DFC,

∴CF=DE,

∴BD=CF.

2.解:(1)过点D作DG∥BC交AC于点G,

∴∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∠FDG=∠E.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC,

∠B=∠ACB=∠A=60°,

∴∠A=∠ADG=∠AGD=60°,

∴△ADG是等边三角形，

∴DG=AD.

∵AD=CE,

∴DG=CE.

∵∠DFG=∠EFC,∠FDG=∠E,DG=CE,

∴△DFG≌△EFC,

∴DF=EF;

(2)∵△ADG是等边三角形,

AD=DG,DH⊥AC,

∴

又∵△DFG≌△EFC,

∴

∴HF=

∴

3.证明:(1)过点M作MH∥BC交AC于点H.

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC,

∠ABC=∠ACB=∠A=60°.

∵MH∥BC,

∴∠AMH=∠ABC=60°,∠AHM=∠ACB=60°,

∴△AMH为等边三角形,

∴∠MHC=∠MBN=120°,

∴AM=MH.

∵MH∥BC,

∴∠HMC=∠MCB.

∵∠MCB=∠MNB,

∴MN=MC,∠MNB=∠HMC,

∴△HMC≌△BNM,

∴MH=BN,

∴AM=BN;

(2)延长AE至点F,使EF=AE,连接CF.

∵E为MC的中点,

∴ME=EC.

∵∠AEM=∠FEC,

∴△AEM≌△FEC,

∴AM=CF,∠MAE=∠F,

∴AM∥CF,

∴∠FCA+∠BAC=180°.

∵∠BAC=∠ABC=60°,

∴∠ACF=∠ABN=120°.

∵AM=CF,AM=BN,

∴BN=CF.

∵AB=AC,

∴△ABN≌△ACF,

∴AN=AF=2AE.

突破25构等边(二)作等边三角形

1.D解:连接AC,以AB为边在AB的左侧作等边△ABF，

则△ABD≌△AFC(SAS),

∴BD=CF,AB=BF=3.

∵BC-BF≤CF≤BC+BF,即5-3≤CF≤5+3,

∴2≤CF≤8,

∴2≤BD≤8.故选D.

2.8解:延长DE至点F,使DF=CD,

则△DCF为等边三角形.

在AC上截取CG=CE,连接DG,则△CDG≌△CFE(SAS),

∴∠CDG=∠F=60°,DG=EF.

设∠ACD=x,

∵BD=CD,

∴∠

∴∠A=60°+x.

∵∠AGD=∠CDG+∠ACD=60°+x,

∴∠A=∠AGD,

∴DG=AD=3=EF,

∴CD=DF=DE+EF=5+3=8.

3.证明:延长OA至点E,使OE=OB,连接BE.

∵∠

∴△BOE为等边三角形,

∴∠EBO=60°,BE=OB.

∵AB=AD,

∴可设∠ABD=∠ADB=α,则∠

∵AD=CD,

∴∠DCA=∠DAC=