等边三角形重难点突破2024-2025学年人教版八年级数学上册.docx

等边三角形重难点突破

知等边(一)角度计算

类型一直接求

1.如图,等边△ABC的边长为2,P为△ABC内一点,连接BP,PC,延长PC到点D,使CD=PC.延长BC到点E,使CE=BC,连接DE,AE.若BP⊥AC,则∠AED的度数为.

类型二整体求

2.如图,设△ABC和△CDE都是等边三角形,若∠AEB=70°,则∠EBD的度数是()

A.115°B.120°C.125°D.130°

类型三模型求

3.如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=CE,连接CD,BE,交于点M,作两角∠ADC,∠ABE的角平分线,交于点N,则∠N的度数为.

4.如图,已知等边△ABC和等边△BPE,点P在BC的延长线上,EC的延长线交AP于点M,连接BM.若∠ABM=40°,则∠APB的度数为()

A.40°B.45°C.50°D.60°

知等边(二)长度计算

类型一构X型全等

1.如图,AB∥CD,∠BCD=60°,E为AD的中点,若AB=2,BC=6,CD=8,则BE的长为.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,P为AC的中点,D为AB边上一点,且AD=PD,延长DP交BC的延长线于点E,若AB=2,则PE的长为.

类型二构对称全等

3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=12,BC=DC,∠A=60°,点E在AD上,连接BD,CE相交于点F,若CE∥AB,CE=9,则CF的长为()

A.4B.5C.6D.7

类型三构手拉手全等

4.如图,△ABC为等边三角形,点D在边AB上,点E是边AC上的一个动点(不与点A,点C重合),以DE为边作等边△DEF,连接CF.若△ABC的边长为5,EF=FC.求AD的长.

知等边(三)设参导角

类型一用参补短证全等

1.如图，已知等边△ABC,将线段CA绕点C逆时针旋转α(0°α30°)得到线段CD,线段CD与AB交于点E,射线AD与射线CB交于点F.

(1)①依题意补全图形；

②直接写出.∠AFC的大小为(用含α的式子表示)；

(2)试判断线段BE，CE，CF之间的数量关系，并证明你的结论.

类型二设参截长证全等

2.如图，已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE,连接EA并延长交直线CD于点F.

(1)若∠BCD=40°,直接写出∠CFE的度数；

(2)若CF=10,AF=4,求AE的长;

(3)连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明.

突破21知等边(一)角度计算

1.60°解:延长AC交ED的延长线于点F.

∵CD=PC,∠DCE=∠PCB,CE=BC,

∴△DEC≌△PBC,

∴∠DEC=∠PBC,

∴BP∥DE.

∵△ABC为等边三角形,

∴BC=AC,∠ACB=60°.

又∵CE=BC,

∴AC=CE,

∴∠CAE=∠CEA.

∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°,

∴∠CAE=∠CEA=30°.

∵BP∥DE,

∵BP⊥AC,

∴DE⊥AC,即∠F=90°.

又∵∠ECF=∠ACB=60°,

∴∠CED=90°-∠ECF=30°,

∴∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60°.

2.D解:∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴AC=AB,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,

∴∠ACE+∠ECB=∠DCB+∠ECB,

∴∠ACE=∠DCB,

∴△ACE≌△BCD,

∴∠AEC=∠BDC.

∵∠AEB=70°,

即∠AEC+∠CEB=70°,

∴∠BDC+∠CEB=70°.

∵∠ECD=60°,

∴∠BED+∠EDB=180°-∠ECD

-∠CEB--∠CDB=180°-70°-60°=50°,

∴∠EBD=180°-50°=130°.

故选D.

3.30°解:∵△ABC是等边三角形,

∴∠A=∠BCE=60°,BC=AB.

∵AD=CE,

∴△ACD≌△CBE

∴∠ACD=∠CBE,

∴∠DMB=∠CBE+∠BCM=∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°.

∵DN平分