专题05 椭圆性质（考题猜想，易错必刷30题13种题型）（解析版）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）.docx

专题05椭圆性质

（易错必刷30题13种题型专项训练）

题型大集合

椭圆定义求参范围

椭圆定义

焦半径范围最值

椭圆第一定义求最值范围

椭圆求a、b、c

椭圆轨迹

焦点三角形面积

椭圆方程的三角换元

焦点三角形中的余弦定理

焦点三角形与离心率

离心率求参数范围

椭圆对称性

椭圆焦点弦定比分点

题型大通关

一．椭圆定义求参范围（共2小题）

1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将椭圆方程化成标准形式，根据焦点位置，列出不等式组，解之即得.

【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得．

故选：B.

2．（23-24高二上·北京海淀·期中）若表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．任意实数

【答案】C

【分析】由该方程表示椭圆，可得且，焦点在轴上可得，计算即可得.

【详解】由题意得，解得或，即.

故选：C.

椭圆定义（共2小题）

3．（22-23高二上·北京·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程的解是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义可得答案.

【详解】因为，所以可以转化为到的距离，同理，可以转化为到的距离，因为，

所以到两定点和的距离之和为，所以在以点和为焦点的椭圆上，设椭圆的标准方程为：，则，，即，又，所以，

所以椭圆的方程为：，由，得，解得，.故选：D.

4．（23-24高二上·山东聊城·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点，分析的值，结合椭圆定义可解.

【详解】由题知，，记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点，

则点A在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，如图所示：

则有，可知，

所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，

所以，

所以点的轨迹方程，即折痕围成轮廊的圆锥曲线的方程为.

故选：.

三．焦半径范围最值（共3小题）

5．（23-24高二上·浙江·期中）已知点为椭圆:的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

作出图形，利用椭圆的定义以及圆的几何性质可求得的最小值.

【详解】如下图所示：

在椭圆中，，则，圆的圆心，半径，

圆心为椭圆的左焦点，由椭圆定义可得，，

由椭圆的几何性质可得，即，由圆的几何性质可得，

所以，所以的最小值是.

故选：C.

6．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左焦点为，若点P在椭圆C上，则的最大值为（????）

A．1 B．5 C．7 D．

【答案】C

【分析】根据两点间距离公式求解最大值.

【详解】依题意，，，则，，设，

所以：，又因为：，

所以：，因为：，所以当时，有最大值：，故C项正确.

故选：C．

7．（23-24高二上·湖南常德·期中）已知P是椭圆C：上一点，点P在直线l：上的射影为Q，F是椭圆C的右焦点，则的最小值为（????）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】求出椭圆左焦点的坐标，结合椭圆的定义转化为求的最小值，再求出点到直线的距离得解.

【详解】椭圆C的左焦点为，则，于是，

当且仅当Q，P，三点共线，且P在线段上时，取得最小值，

最小值为点到直线的距离，所以的最小值为1.

故选：A

四．椭圆第一定义求最值范围（共2小题）

8．（21-22高二上·广东广州·期中）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（????）

A．28 B．16 C．12 D．9

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解.

【详解】由椭圆可得，所以，

因为点在上，所以，

所以，

当且仅当时等号成立，最大值为，

故选：B.

9．（20-21高二上·江苏·期中）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）

A．14 B．16 C．18 D．20

【答案】C

【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．

【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则

，则，

，的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．的周长最大值等于18．故选：C．

五．椭圆求a、b、c（共2小题）

10．（22-23高二上·安徽合肥·期中）椭圆的焦点为，，