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高中数学精选资源
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第2章 常用逻辑用语
第03讲全称量词命题与存在量词命题
目标导航
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课程标准
重难点
1、理解全称量词、存在量词的含义.
2、理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念,并能用数学符号表示.
3、能判定全称量词命题与存在量词命题的真假,并掌握其判定方法
4、理解含有一个量词的命题的否定的意义.
5、理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念,并能用数学符号表示.
6、掌握全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.
1.理解全称量词与存在量词的意义
2.命题的否定
3.根据命题判断参数范围
4.没有量词的命题的判断及否定
知识精讲
知识精讲
一、全称量词与存在量词
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
?
?
命题
含有的命题是全称量词命题
含有的命题是存在量词命题
命题形式
“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为
“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为
【特别提醒】
(1)在全称量词命题与存在量词命题中的“x,M与p(x)”表达的含义:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“x∈N,x≥0”.
(2)在存在量词命题中,量词不可以省略;在有些全称量词命题中,量词可以省略.
二、全称量词命题、存在量词命题的否定
三、全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系
1.全称量词命题的否定是命题.
2.存在量词命题的否定是命题.
【思考】“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题?请改写成相应命题的形式.
【特别提醒】
(1)一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题;
(2)含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.
一、全称量词“?x∈M,p(x)”存在量词“?x∈M,p(x)”
三、存在量词全称量词
提示:是存在量词命题,可改写为“存在x∈R,使ax2+2x+1=0”.
能力拓展
能力拓展
考法01全称量词命题与存在量词命题的判断
对于全称量词命题与存在量词命题的判断,关键看量词,对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别.
例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“?”或“?
例1
(1)自然数的平方大于或等于零;
(2)有的一次函数图象经过原点;
(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.
【解析】(1)全称量词命题.表示为?n∈N,n2≥0.
(2)存在量词命题.表示为?一次函数,它的图象过原点.
(3)全称量词命题.表示为?二次函数,它的图象的开口都向上.
【名师指点】全称量词命题或存在量词命题的判断
注意:全称量词命题可以省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略.
【跟踪训练】
下列命题中全称量词命题的个数为()
①平行四边形的对角线互相平分;
②梯形有两边平行;
③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】①②是全称量词命题,③是存在量词命题.
考法02全称量词命题与存在量词命题的真假的判断
全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧
(1)全称量词命题的真假判定
要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.
例2判断下列命题的真假.
例2
(1)任意两个面积相等的三角形一定相似;
(2)?x,y为正实数,使x2+y2=0;
(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;
(4)?x∈N,x20.
【解析】(1)因为面积相等的三角形不一定相似.故它是假命题.
(2)因为当x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故它是假命题.
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真
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