2.3 全称量词命题与存在量词命题【导学案教师版】 (1).docVIP

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第2章 常用逻辑用语

第03讲全称量词命题与存在量词命题

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课程标准

重难点

1、理解全称量词、存在量词的含义．

2、理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能用数学符号表示．

3、能判定全称量词命题与存在量词命题的真假，并掌握其判定方法

4、理解含有一个量词的命题的否定的意义．

5、理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念，并能用数学符号表示．

6、掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．

1．理解全称量词与存在量词的意义

2．命题的否定

3．根据命题判断参数范围

4．没有量词的命题的判断及否定

知识精讲

知识精讲

一、全称量词与存在量词

全称量词

存在量词

量词

所有的、任意一个

存在一个、至少有一个

符号

?

?

命题

含有的命题是全称量词命题

含有的命题是存在量词命题

命题形式

“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为

“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为

【特别提醒】

（1）在全称量词命题与存在量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“x∈N，x≥0”.

（2）在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略.

二、全称量词命题、存在量词命题的否定

三、全称量词命题、存在量词命题及其否定的关系

1.全称量词命题的否定是命题.

2.存在量词命题的否定是命题.

【思考】“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．

【特别提醒】

（1）一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；

（2）含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．

一、全称量词“?x∈M，p(x)”存在量词“?x∈M，p(x)”

三、存在量词全称量词

提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．

能力拓展

能力拓展

考法01全称量词命题与存在量词命题的判断

对于全称量词命题与存在量词命题的判断，关键看量词，对于没有量词的命题需要补全量词在进行判别.

例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“?”或“?

例1

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)有的一次函数图象经过原点；

(3)所有的二次函数的图象的开口都向上.

【解析】(1)全称量词命题.表示为?n∈N，n2≥0.

(2)存在量词命题.表示为?一次函数，它的图象过原点.

(3)全称量词命题.表示为?二次函数，它的图象的开口都向上.

【名师指点】全称量词命题或存在量词命题的判断

注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

【跟踪训练】

下列命题中全称量词命题的个数为()

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两边平行；

③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解析】①②是全称量词命题，③是存在量词命题．

考法02全称量词命题与存在量词命题的真假的判断

全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧

(1)全称量词命题的真假判定

要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

(2)存在量词命题的真假判定

要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．

例2判断下列命题的真假．

例2

(1)任意两个面积相等的三角形一定相似；

(2)?x，y为正实数，使x2＋y2＝0；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(4)?x∈N，x20.

【解析】(1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题．

(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真