《用样本估计总体的离散程度参数》课时同步详解 (2).docVIP

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《用样本估计总体的离散程度参数》课时同步详解

问题情境导入

在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次,命中环数如下：

甲运动员:.

乙运动员:.

观察上述样本数据,你能判断哪个运动员发挥得更稳定些吗?

新课自主学习

自学导引

1.极差.

一组数据的______与_______的的差称为极差.极差越大,数据点越______,极差越小,数据点越______.

2.方差与标准差.

(1)定义:设一组样本数据,其平均数为,则称______为这个样本的方差,其算术平方根______为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差.

(2)结论:=1\*GB3①若取值为的频率分别为,,则其方差为_______.

=2\*GB3②如果的方差为,且为常数,则的方差是______.

=3\*GB3③如果将总体分为层,第层抽取的样本为,,第层的样本量为,样本平均数为,样本方差为.记,那么所有数据的样本方差为______.

答案

1.最大值最小值分散集中

2.(1)

(2)=1\*GB3①

=2\*GB3②

=3\*GB3③

预习测评

为比较甲、两地14时的气温状况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:C°)记录如下：

甲：26,28,29,31,31

乙:,

考虑以下结论:

=1\*GB3①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；

=2\*GB3②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温;

=3\*GB3③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;

=4\*GB3④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.

其中得到的正确的统计结论的编号为（）

A.=1\*GB3①=3\*GB3③

B.=1\*GB3①=4\*GB3④

C.=2\*GB3②=3\*GB3③

D.=2\*GB3②=4\*GB3④

2.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为,.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则的值为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知一组数据,则该组数据的方差是______.

4.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为______.

答案

1.

解析:,，

.

2.D

解析:由题意可得

，

解得

解析:样本数据的平均数为,所以方差为.

解析:因为，

所以

,所以

新知合作探究

探究点1极差、方差、标准差的计算

知识详解

1.极差是指这组数的最大值减去最小值所得的差.

2.一组样本数据,其平均数为,则称为这个样本的方差,其算术平方根为样本的标准差.

特别提示方差的简化计算公式:

.

典例探究

例1某车间20名工人年龄数据如下表:

(1)求这20名工人年龄的众数与极差;

(2)求这20名工人年龄的方差.

解析根据表格中的信息,可得众数是30,最大值是40,最小值是19,可求极差.(2)利用方差公式计算方差.

答案(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为.

(2)年龄的平均数为:

故这20名工人年龄的方差为:.

方法总结计算一组数据的方差和标准差的步骤:先计算该组数据的平均数(或需加减的数值),然后按方差(或标准差)的计算公式计算.

变式训练1将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为.现场作的9个分数后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:,则7个剩余分数的方差为（）

A.

B.

C.36

D.

答案B

解析由题意知91,解得.

所以.

探究点2频率直方图中方差的计算

知识详解

若取值为的频率分别为,则其方差为)2.

典例探究

例2从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表：

（1）作出这些数据的频率直方图（如图）；

（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

答案（1）作出频率直方图如下

（2）质量指标值的样本平均数为.

质量指标值的样本方差为

.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.

（3）质量指标值不低