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专题12定点问题

在解析几何中，动直线或动曲线不论如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，称为“定点问题”．定点问题的主要考查形式有①圆锥曲线中的直线过定点问题；②圆锥曲线中的圆过定点问题；

一、圆锥曲线中定点问题的解题策略：

1.参数法：

①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=

②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.

2.特殊法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

二、方法总结—平移齐次解决定点问题

1、平移齐次法概念

在圆锥曲线的综合问题中,如果一条直线l与曲线交于A,B两点﹐点是曲线上一点，且或为定值,则直线l必过定点.在求该定点.如图﹐需要将坐标原点平移至点P处,在新坐标系下求解,这种先平移坐标系﹐再构建齐次关系,最后用韦达定理表示斜率关系的方法,叫做平移齐次法.

2、平移齐次解决定点问题的步骤如下.

(1)将坐标系平移到以点为原点处;

(2)在新坐标系下写出曲线与直线的方程:曲线，直线；

(3)将曲线方程作齐次化处理,并写成关于的二次方程的形式:;

(4)设，，用韦达定理表示斜率和或斜率积:;

(5)得到直线在新坐标系中过的定点；

(6)将定点转化为原坐标系中的点.

题型【一】、直线过定点的问题

求解直线过定点问题常用方法如下：

（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；

（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；

（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．

一般解题步骤：

①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．

②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．

③参数无关找定点：找到和没有关系的点．

例1、（2023·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.

(1)若的面积为，求直线的方程；

(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.

例2、如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左?右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.

例3、如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP．

(1)求椭圆M的方程；

(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；

(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．

例4、（2023·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.

题型【二】、圆过定点的问题

例5、（2023·江西九江·统考一模）已知过点P(2,0)的直线l与抛物线E:y2=2px(p0)交于A,

(1)求抛物线E的方程；

(2)若C为E上异于点A,B的任意一点，且直线AC,BC与直线x=-2交于点

例6、（2023·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点.

例7、（2021·上海·高三专题练习）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1ab0的左焦点为F1，右焦点为

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点

例8、（2023·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

题型【三】、综合问题

例9、（2024上·湖北孝感·高二应城市第一高级中学校联考期末）动点G到点的距离比到直线的距离小2.

(1)求G的轨迹的方程；

(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F