专题13 函数模型及应用（解析版）_1_1.docxVIP

专题13

专题13函数模型及应用

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（新高考）备战

（新高考）

备战2024高考数学一轮复习

专题13函数模型及应用

命题解读

命题预测

复习建议

函数模型是建立在各种函数基础之上的，对于函数模型的考察主要集中在模型的建立，求解和实际应用上，因此在此节中，要学会解读实际问题，高考对于这部分的要求也越来越高，年年出题考察.

预计2024年的高考函数模型及其应用还是必考题，多见于选择或者填空，要重视模型的建立.

集合复习策略：

1.认清给定的函数模型，理解函数模型的应用；

2.结合实际情景选定模型；

3.能利用函数模型的图象性质求解实际问题.

→?考点精析←

一、.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

y＝ax

(a1)

y＝logax

(a1)

y＝xn

(n0)

在(0，＋∞)

上的增减性

单调递增

单调递增

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

随n值变化

而各有不同

二、几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

与指数函数

相关的模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

与对数函数

相关的模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0)

与幂函数

相关的模型

f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)

三、解函数应用题的步骤

第一步：阅读理解题意．读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．

第二步：引用数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x、y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题数学化，即所谓建立数学模型．

第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．

第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答．

→?真题精讲←

1.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者

A．10名 B．18名

C．24名 D．32名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，

，,故需要志愿者名.

故选：B

2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ln19≈3）

A．60 B．63

C．66 D．69

【答案】C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C．

3.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【解析】因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B．

4.【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2?m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1

C．lg10.1 D．10?10.1

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足，