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(必威体育精装版整理)(完整版)复变函数解析函数;第二章解析函数;1.复变函数的定义

2.映射的概念

3.反函数或逆映射;1.复变函数的定义;该函数的值域为：;例1;;以下不再区分函数与映射（变换）。;例3;o;例5;3.反函数或逆映射;1.函数的极限

2.相关定理

3.函数的连续性;定义2.2设复变函数w=f(z)在z0的某个去心

邻域内有定义,A是复常数.若对任意给定的e0,

存在d0,使得对一切满足0|z-z0|d的z,都有;几何意义;相关定理;定理2.2;例1;函数的连续性;例4证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。;定理2.5设;有界性：;§2.2解析函数的概念;一、复变函数的导数;定义中的极限式可以写为;此时，对D内任意一点z,有;;例2证明;但是,;所以;2、可导与连续的关系;;3、求导法则;其中;二、解析函数;(3)设G是一个区域，若闭区域;复变函数在区域内解析与在该区域内可导

是等价的.;若函数在处不解析，则称是;根据求导法则，很容易得到下面的结论.;例3证明在处可导,;故;§2.3复函数可导与解析的充要条件;如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。;一.解析函数的充要条件;记忆;定理2.7设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，

则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是

（1）u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微；

（2）u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程;由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.;定理2.8函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解

析的充要条件是

（1）u(x,y)和v(x,y)在D内可微

（2）u(x,y)和v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程;解析函数的判定方法:;判定复变函数可导性与解析性的步骤：

I)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性；

II)验证C-R方程；

III）根据推论2.1或定义2.5判断函数的解析性。;二.举例;(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny;仅在点z=0处满足C-R方程，故;解由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以;例3设;容易看出,当时,函数;§2.4初等函数;本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。;1.指数函数

2.对数函数

3.幂函数

4.三角函数;一.指数函数;这个性质是实变指数函数所没有的。;;二.对数函数;当k=0时，

为Lnz的一单值函数，称为Lnz的主值。;特别地;(2)对数函数的性质;例4;三.乘幂与幂函数;(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a的

n次根意义一致。;解;幂函数zb;除去b为正整数外，为多值函数，

当b为无理数或复数时，无穷多值。;四.三角函数;正弦与余弦函数的性质;4）欧拉（Euler）公式对任意复数成立;;其它三角函数的定义;思考题;定义