数值分析数值计算方法课程课件之第四章数值积分与数值微分.pptVIP

4.1引言;4.2牛顿-柯特斯公式;（2.2）;当时，按(2.2)式，;的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，;从柯特斯系数表看到时，柯特斯系数出现

负值，;4.2.2偶阶求积公式的代数精度;另一方面，直接求积得;证明;因为被积函数;4.2.3几种低阶求积公式的余项;解：使用梯形公式;在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。;4.3.1复化梯形公式及其误差

将积分区间[a,b]划分为n等分,步长，求积节点为，在每个小区间

上应用梯形公式;记;根据连续函数的介值定理知，存在，使;将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间的中点为在每个小区间上应用辛普森公式，则有;类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛普森公式的求积余项为;复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)及所涉及的各阶导数在[a,b]上连续，那么复化梯形公式、复化辛普森公式与复化柯特斯公式所得近似值的余项和步长的关系依次为、、。因此当h→0(即n→∞)时,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。

问题：复化梯形公式、复化辛普森公式与复化柯特斯公式稳定吗？;例1依次用n=8的复化梯形公式、n=4的复化辛普森公式计算;由复化辛普森公式可得如下计算公式;例2计算定积分;（2）对复化辛普森公式有余项;复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长(有时难以估计)。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。;设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh,k=0,1,…，n，步长。;当在区间[a,b]上变化不大时,有，所以;解:先对整个区间?0,1?用梯形公式,对于;可得;积分近似值的误差大致等于,如果用

对进???修正时，与之和比更接近积分真值,所以可以将看成是对误差的一种补偿,这样应该可得到一个具有更好效果的式子。

问题：是这样的吗？;和梯形变步长公式;对辛普森公式用类似方法处理，其截断误差与成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至，即有;用同样的方法，根据柯特斯公式的误差公式，可进一步导出龙贝格公式;4.5高斯（Gauss）型求积公式

4.5.1高斯积分问题的提出

在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。

问题：是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？;在构造形如的两点公式时,如果限定求积节点,那么所得插值求积公式;解之得;同理，对于一般的插值求积公式;4.5.2常用的高斯求积公式

（1）高斯－勒让德求积公式;即有;数值积分方法小结;高斯求积公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以用于计算奇异积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。;（1）被积函数，诸如等等，找不到用

初等函数表示的原函数；;问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以;（3）用区间中点的“高度”近似地取代平均

高度，则又可导出所谓中矩形公式;一般地，可以在区间上适当选取某些节点，;用上面式子求积分近似值的特点：将积分求值问题转化为了计算函数值的问题，避开了求原函数.这