人教B版高中数学必修第一册课后习题 第2章 等式与不等式 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用.docVIP

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第2课时均值不等式的应用

课后训练巩固提升

A组

1.设x0,y0,且2x

A.最大值64 B.最小值1

C.最大值12

解析:∵1=2x+8

∴01xy≤1

答案:D

2.已知x0,y0,且xy=4,则当xy

A.1 B.2 C.2 D.22

解析:∵x0,y0,且xy=4,

∴xy+yx≥2

当且仅当xy

答案:B

3.设x,y为正数,则(x+y)1x

A.6 B.9 C.12 D.15

解析:(x+y)1x

答案:B

4.若x1,则式子x+1x

A.16 B.8 C.4 D.2

解析:∵x1,设t=x+1x

∴原式可变为y=t+16t≥216

当且仅当t=42时,等号成立.

答案:B

5.若实数a,b满足1a

A.2 B.2 C.22 D.4

解析:由1a

所以ab=1a+2

当且仅当1

即a=42,b=242时,等号成立,所以ab的最小值为2

答案:C

6.(多选题)已知x0,y0,且x+2y+2xy=8,则()

A.x+2y有最小值4 B.x+2y有最大值4

C.xy有最大值2 D.xy有最小值2

解析:∵x+2y+2xy=8,x0,y0,

∴y=8-

∴0x8,∴x+2y=x+2·8-x2x+2=(x+1)+9x+1-2≥2

又8-2xy=x+2y≥22xy(当x=2y时取“=”),令t=2xy,∴8-t2≥2t,∴-4≤t≤2.

∴2xy≤2,∴xy≤2.当x=2,y=1时“=”成立.

答案:AC

7.已知4x+ax

若x0,a0,且在x=3时式子取得最小值,则a=;?

若a=1,x∈(-∞,0),则4x+ax有最值,是

解析:∵x0,a0时,4x+ax≥24a,当且仅当4x=a

∴4x2=a,∴a=4×32=36.

当a=1,x∈(-∞,0)时,4x+ax=4x+1x=-(-4x)+1-x≤-2(-4x

答案:36大-4

8.设常数a0,若9x+a2x≥a+1对一切正实数x成立,则a的取值范围为

解析:∵a0,x0时,9x+a2x≥29x·a2

答案:1

9.设a+b=2,b0,则12|a

解析:∵12|a|+|a

∴12|a

答案:3

10.已知x0,y0.

(1)若4x+y=2,求1x

(2)若x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

解:(1)1x+1y=121x+

当且仅当yx=4xy,即x=

故1x+1

(2)(方法一)由x+2y+2xy=8,得(x+1)(2y+1)=9.

又x+1+2y+1≥2(x+1

∴x+2y≥4.

当且仅当x+2y+2xy=8,

故x+2y的最小值为4.

(方法二)∵x0,y0时,x+2y2

∴2xy≤(x+2y

∴x+2y+(x+2y

令x+2y=t,则t+t24≥8,解得t≥4或t≤-8(舍去).

B组

1.已知a+b=t(a0,b0),t为常数,且ab的最大值为2,则t等于()

A.2 B.4 C.22 D.25

解析:∵a0,b0,∴t=a+b≥2ab0,

∴ab≤t2

∴t22=2,解得t=22(t=-2

答案:C

2.设abc,k∈R,且(a-c)·1a

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:∵abc,∴a-b0,b-c0,

∴(a-c)1a-b+1b-c=(a-b+b-c)

当且仅当a-b=b-c时,等号成立,

∴k≤4,k的最大值为4,故选C.

答案:C

3.设二次函数y=ax2-4x+c(x∈R),若y的取值范围为[0,+∞),则1c

A.3 B.92 C.5

解析:由题意,得a0,Δ=16-4ac=0,

∴ac=4,∴c0.

∴1c+9

当且仅当1c

∴1c

答案:A

4.若不等式x2+2xab+16b

A.(-2,0)

B.(-∞,-2)∪(0,+∞)

C.(-4,2)

D.(-∞,-4)∪(2,+∞)

解析:因为a,b∈(0,+∞),所以ab+16ba≥2

故只需,n均为正实数,

所以由m=mn+2,得mn=m+2n≥22mn

设mn=t(t0),则t≥22t,即t2≥8t,

解得t≥8,故mn的最小值为8.

答案:8

6.已知a∈R,b0,且(a+b)b=1,则当b=时,a+2a+b取得最小值,其值为

解析:∵b0,且(a+b)b=1,∴a=1b

∴a+2a+b=1b-b+21

答案:12

7.若max{a,b}表示a,b两数的最大值,当正数x,y(axx2,25y(x

解:由题意,得t≥x2,t≥25y

∴2t≥x2+25y

∵xy0,

∴x2+25y(x-y)≥x2+

∴2t≥20,即t≥10.

故当正数x,y(axx2,25y(x

8.经计算可以发现:7+15211,5.5+16.

解:7+15=2×11,5.5