《向量的加法》参考教案 (1).docVIP

PAGE

PAGE1/NUMPAGES6

§2从位移的合成到向量的加法

向量的加法

一、教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；

掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、创新的个性品质．

二．重点难点

重点：向量加法运算的意义和法则．

难点：向量加法法则的理解．

三．教学方法

采用“启发探究”式教学方法，结合多媒体辅助教学．

四．教学过程

Ⅰ．创设情境直观感知

AOB

A

O

B

斜拉索

斜拉索

塔柱

斜拉桥示意图

梁

O

F

1

F

2

F

斜拉索

塔柱

斜拉桥示意图

斜拉索

塔柱

斜拉桥示意图

O

F

1

F

2

F

以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下：

问题１：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？

问题2：这是大桥南端的A型独塔斜拉桥，其中两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？

力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量．它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算——向量的加法（引出课题）

Ⅱ．抽象概括形成定义

（一）建立数学模型

若记则向量叫做向量与的和，记为．

问题3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？——，即向量为向量与的和

（二）抽象数学概念

问题4：由此，你们能概括出一般的两个向量与和的定义吗？

学生活动：在平面内任取一点O，平移使其起点为点O，平移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点．

（1）平移的目的是什么？——平移后使得两个向量能在同一个三角形中；

（2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？——使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合；

（3）和向量又是什么？——连接向量的起点与向量的终点，并指向的终点，得到的向量即为向量与的和；

（4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义．

和的定义：已知向量，在平面内任取一点O，作，则向量叫做向量的和．记作：．即．

向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．

向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

问题5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？——平移两个向量使它们首尾顺次相连．

问题6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？——向量加法的平行四边形法则．

问题7：平行四边形法则有何特点？——平移两个向量至共起点．

两种方法求和的结果是一样的，可见，向量加法的三角形法则与平行四边形法则在本质上是一致的．在具体求和时，应根据情况灵活地选择．

（三）尝试运用法则

试一试：如图，已知、，作出

ababb

a

b

a

b

b

a

a

b

向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．

Ⅲ．类比猜想探究性质

问题8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？

实数的加法

向量的加法

性

质

交换律的验证让学生通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成．

研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的．有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内涵．

Ⅳ．数学运用深化认识

例1．如图，O为正六边形A1A2A

（1）（2）（3）

（4）（5）

推广1：

推广2：

并以北京08奥运圣火的传递提供了现实原型．

最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题：

例2．已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以12.5km/h的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？

分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？，三个向量应满足什么关系？．

解：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形．

在中，

，，

所以

答