第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（十六大题型）（讲义）（含答案解析）.docx

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：函数的单调性 4

知识点2：函数的最值 5

知识点3：函数的奇偶性 6

知识点4：函数的周期性 6

知识点5：函数的对称性 7

解题方法总结 7

题型一：单调性的定义及判断 10

题型二：复合函数单调性的判断 12

题型三：分段函数的单调性 14

题型四：利用函数单调性求函数最值 16

题型五：利用函数单调性求参数的范围 19

题型六：利用函数的单调性比较函数值大小 22

题型七：函数的奇偶性的判断与证明 24

题型八：已知函数的奇偶性求参数 28

题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值 30

题型十：奇函数的中值模型 32

题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式 36

题型十二：函数对称性的应用 39

题型十三：函数周期性的应用 42

题型十四：对称性与周期性的综合应用 44

题型十五：类周期与倍增函数 50

题型十六：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 53

04真题练习·命题洞见 58

05课本典例·高考素材 61

06易错分析·答题模板 64

易错点：判断函数的奇偶性忽视定义域 64

答题模板：判断函数的奇偶性 64

考点要求

考题统计

考情分析

（1）函数的单调性

（2）函数的奇偶性

（3）函数的对称性

（4）函数的周期性

2024年II卷第8题，5分

2024年I卷第6题，5分

2024年天津卷第4题，5分

2023年I卷第4、11题，10分

2023年甲卷第13题，5分

2022年II卷第8题，5分

2022年I卷第12题，5分

2021年II卷第8题，5分

从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．

复习目标：

（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．

（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．

（4）会依据函数的性质进行简单的应用．

知识点1：函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数的定义域为，区间：

如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．

如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．

=1\*GB3①属于定义域内某个区间上；

=2\*GB3②任意两个自变量，且；

=3\*GB3③都有或；

=4\*GB3④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

（2）单调性与单调区间

=1\*GB3①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．

=2\*GB3②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.

【诊断自测】（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数，.若成立，则下列论断中正确的是（????）

A．函数在上一定是增函数；

B．函数在上一定不是增函数；C．函数在上可能是减函数；

D．函数在上不可能是减函数.

【答案】D

【解析】因为函数，且成立，

则函数在上不可能是减函数，可能是增函数，也可能不是增函数，

如，满足，但是在上不具有单调性，

故D正确，A、B、C错误.

故选：D

知识点2：函数的最值

一般地，设函数的定义域为D，如果存在实数M满足

①，都有；②，使得，则M是函数的最大值；

①，都有；②，使得，则M是函数的最小值.

【诊断自测】（2024·高三·北京·开学考试）函数的最小值为.

【答案】

【解析】设，

则，

又函数在上单调递增，

所以当，即时，

函数有最小值，

故答案为：.

知识点3：函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数

关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数