（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第二十讲空间向量的运用.pdfVIP

第二十讲空间向量的运用

【知识梳理】

1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：给定一定点A和一向量a,再任给一实数3以A为起点作向量办

=ta,则此向量方程叫做直线/的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/_La,取直线/的方向向量a,则向量。叫做平面a的法向量.

2.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线1\,11的方向向量分l\//hn\//

别为H21-L2=」1〃2=O

直线/的方向向量为n,I//an_Lm^n-m=Q

平面a的法向量为ml-Lan//

平面a,B的法向量分别a//pn//m^n=Xm

为〃，ma工0n-Lm^nm=O

3.异面直线所成的角

设a,8分别是两异面直线/i,/2的方向向量，则

a与方的夹角尸/l与，2所成的角0

©

范围(0,7t)

RabC0S夕=9。5阴=品

求法cos^~\a\\b\

4.求直线与平面所成的角

设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为〃，直线/与平面a所成的角为仇则sin。=幽

5.求二面角的大小

(1)如图①，AB,CD是二面角a-1-p的两面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小3=_

油〈，eb).

W1

（2）如图②③，n\,m分别是二面角a—/一夕的两半平面a,4的法向量，则二面角的大小。

满足|cos8l=|cos〈〃1,〃2）二面角的平面角大小是向量n\与“2的夹角或（其补角）.

6.点到平面的距离

用向量方法求点8到平面距离基本思路：确定平面法向量，在平面内取一点A,求向量油到

法向量的投影向量，投影向量的长度即为所要求的距离.如图平面a的法向量为〃，点B到平

面a的距离4=噜菖.

【考点剖析】

考点一利用空间向量证明平行问题

【例1】如图，在四面体ABCO中，AOL平面BCD,BC1CD,AD=2,BD=2巾,M是A。

的中点，尸是8M的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC

证明：P。〃平面BCD

OD,0P所在射线分别为y,

【解析】证明法一如图，取8。的中点。，以。为原点，

轴的正半轴，建立空间直角坐标系。一孙.

由题意知，A0（,啦，2）,50（,一啦，0）,00（,啦，0）.

设点C的坐标为x（o,yo，0）.

因为苑=3无，

所以陪必，乎+5o,9

因为M为AO的中点，故M0（,啦，1）.

又P为8M的中点，故，0,0,乡，

所以的=txo,乎+$o,0）.

又平面8c。的一法向量为。=0（,0