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矩阵的相似与合同及其等价条件研究

（数学与统计学院09级数学与应用数学一班）指导老师：王晶晶

引言

矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学

习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，

[9]

能够把要处理的问题简单化，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对

其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助.

1矩阵的等价与相似及其合同的基本概念

1.1矩阵等价的定义[1]

定义1.1如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价

的.

由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到：

nAnBA

定义1.2如果阶矩阵可以由阶矩阵进过有限次初等变换得到，则称与

B是等价的.

根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描

述：

定义1.3设矩阵,为n阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵和,使得,

ABnPQPAQB

则称矩阵与等价，记作∽.

ABAB

1.2矩阵相似的定义[2]

定义1.4设矩阵，为n阶矩阵，如果存在一个是阶可逆矩阵P，使得

ABn

PAPB

1,则称矩阵与矩阵相似，记作～.

ABAB

1.2.1n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]:

性质1.1反身性，即任一阶矩阵A与自身相似.

n

性质1.2对称性，即如果～，则～.

ABBA

性质1.3传递性，如果～，～C，则～C.

ABBA

1()1



性质1.4PkAkAPkPAPkAP.（是任意常数）

1122122k,k

12

1

宿州学院毕业论文矩阵的相似与合同及其等价条件研究

111

PAAPPAPPAP

性质1.5()()().

1212

m与m相似.（为正整数）