2024—2025学年辽宁省实验中学高二上学期第一次阶段测试数学试卷.docVIP

2024—2025学年辽宁省实验中学高二上学期第一次阶段测试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知向量，，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

(★)3.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（）

A．

B．

C．

D．

(★)4.在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（）.

A．

B．

C．

D．

(★★)5.若是空间的一个基底，且向量，，，若不能构成空间的一个基底，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)6.如图，在正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.设所在的平面为，点在内，点在外，若对任意的实数，有成立，则下列等式恒成立的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.如图，一个晶体的形状为平行六面体，其中以顶点为端点的三条棱长都为1，且它们彼此的夹角都是60°，设与面所成角为，二面角为，的长度为，则（）

A．，且

B．，且

C．，且

D．，且

二、多选题

(★★★)9.下列说法正确的是（）

A．直线的倾斜角为

B．过点，斜率为2的直线的方程可写为

C．过两点的直线都可用方程表示

D．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为

(★★★)10.如图，在边长为4的正中，为边的中点，过点作，垂足为.把沿翻折至的位置，连接.在翻折过程中，以下结论正确的是（）

A．

B．是二面角的平面角

C．存在某个位置，使

D．直线与平面所成角正弦的最大值为

(★★★)11.如图,三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度相等,点是的中心,过点的直线交于点是棱上的点,平面与棱的延长线相交于点,与棱的延长线相交于点,则（）

A．存在点与直线,使

B．

C．若,其中,则

D．是常数

三、填空题

(★★)12.已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标为__________.

(★★)13.长方体中，，，，是棱上的动点，则的面积最小值是________.

(★★★★)14.已知空间向量，若，在上的正投影数量分别为1和3，且，则与所成角余弦的最大值等于__________.

四、解答题

(★★★)15.已知直线过点，

(1)若直线过，求直线的方程.

(2)若直线与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程.

(★★★)16.如图，在直三棱柱中，为直角，侧面为正方形，，分别为，的中点.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★)17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF∥平面PAD．

(2)在线段PC上是否存在一点Q使得A，E，Q，F四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

(★★★)18.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，E为的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)已知二面角的大小为，求点C到平面的距离.

(★★★★★)19.解析几何，又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡尔几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支.三维坐标下也有空间解析几何.在空间直角坐标系下可求解直线和平面的方程.例如，已知平面过点且一个法向量为，设是空间的一动点，则在平面内的充分必要条件是与垂直，即，由此可得，该式为平面的点法式方程.令，则点法式方程化为，该式为平面的一般式方程，其中

系数不同时为零.若直线过点且一个方向向量为，类似可推导直线的点向式方.

(1)求过点且过轴的平面的一般式方程；

(2)已知两平面与交于直线，求坐标原点到直线的距离.

(3)在空间直角坐标系中，有一个不透明的球与平