7.4 三角函数应用【导学案教师版】.docVIP

7.4 三角函数应用【导学案教师版】.doc

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第7章 三角函数

第04讲三角函数应用

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课程标准

重难点

理解并掌握函数中的物理意义;

掌握解三角函数应用题的基本步骤;

理解三角函数图象类问题;

理解并掌握三角函数模型的应用.

1.通过具体实例,掌握三角函数在现实生活中的应用

2.通过现实问题进行模型的构建求解

知识精讲

知识精讲

一、三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.

步骤可记为:审读题意→→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.

这里的关键是建立数学模型,一般,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.

1.三角函数模型应用的步骤

三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.

步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题.

这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.

2.三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

二、三角函数模型的拟合应用

我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.

参考答案

一、建模问题建立三角函数式先根据题意设出代表函数

二、散点图数据拟合

能力拓展

能力拓展

考法01三角函数模型在生活中的应用

例1估计某一天的白昼时间的小时数的表达式是,其中表示某天的序号,表示1月1日,依此类推,常数与某地所处的纬度有关.

例1

(1)在波士顿,,试画出当时函数的图象;

(2)在波士顿哪一天白昼时间最长?哪一天最短?

(3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时.

【思路分析】首先利用五点法作出图象,然后结合图象分析问题.

【解析】(1)先用五点法作出的简图,

由及,

得及.

若,.

∵的周期为365,

∴.

将在上的图象向上平移12个单位,就得的图象(如图所示).

(2)白昼时间最长的一天,即取最大值的一天,

此时,对应的是6月20日(闰年除外),

类似地,时取最小值,

即12月20日(闰年除外)白昼最短.

(3),

即,

,.

∴,.

故约有243天的白昼时间超过10.5小时.

【解题策略】该题已经知道了函数模型即函数的解析式,只需利用所学的三角函数知识对问题予以解答,再将所得结论转译成实际问题的答案.

【跟踪训练】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈(,,)的模型波动(为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定的解析式为()

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】令可排除D,

令可排除B,

由可排除C;

或由题意,可得,,周期,

∴.

于是,

再代入点结合的范围得的值.

2.如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要12分钟,其中心距离地面40.5米,半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:

(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数关系式;

(2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间?

【思路分析】

利用模型解决实际问

利用模型解决实际问题

求函数解析式

确定模型类别

【解析】(1)由已知可设,

由周期为12分钟可知,

当时,摩天轮第1次到达最高点,

即此函数第1次取得最大值,

所以,

即.

所以.

(2)设转第1圈时,第分钟时距地面60.5米,

由,

得,

所以或,

解得或.

所以(分钟)时,第2次距地面60.5米,

故第4次距离地面60.5米时,用了(分钟).

【技巧点拨】解决此类问题的关键在于根据已知数据确定相应的数学模型,然后根据己知条件确定函数解析式中的各个参数,最后利用模型解决实际问题.

考法02三角函数模型在物理学中的应用

例21.弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离(cm)由下面的函数关系式表示:.

例2

(1)求小球开始振动的位置;

(2)求小球第一次上升

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