45°角用法重难点突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册.docx

45°角用法重难点突破

45°角用法(一)构等腰直角

1.如图,在凹四边形ABCD中,∠BAC=45°,∠ACB-∠DAC=90°,∠B=∠D,求证:AD=BC.

2.如图,在△ABC中,CD是中线,E是CD上的一点,∠BED=∠ACD=45°.求证:BE=AC且BE⊥AC.

3.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,E是AC的中点,连接BE,CD⊥BE于点F,交AB于点D,且CD=BE.若.AD=2,,则BD

A.2B.22C.23D.3

45°角用法(二)构模型

类型一三垂直

1.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,D是BC下方一点,AD=AB=AC,连接BD,CD,AE⊥BD于点E,若AE=8,BD=10,则△BDC的面积为.

类型二夹半角

2.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥AB于点A,点E在AB上,且∠DCE=45°,求证:AD+BE=DE.

类型三手拉手

3.如图,D是△ABC内一点,BD=CD,BD⊥CD,∠BAD=45°,若AB=8,求△ABC的面积.

45°角用法(三)巧用45°

类型一转移45°

1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=7,BC=5,D,E分别是边AC,BC上的点,BE=CD,AE,BD交于点F,∠AFD=45°,连接DE,则△CDE的面积为.

类型二绝配角

2.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D,E分别是边BC,AB上的点,∠ADE=45°,∠ACB=2∠BDE.

(1)求证:AD平分∠BAC;

(2)探究AE,DC和AC之间的数量关系.

3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是边BC的中点,D是边AB上的一点,∠CDE=45°,∠ABC=2∠ACD.

(1)求证:BC=BD;

(2)求证:AB=2AC-AD.

突破3145°角用法(一)构等腰直角

1.证明:过点C作CE⊥AC交AB于点E,

∴∠ACE=90°.

∵∠BAC=45°,

∴∠AEC=45°,

∴∠BAC=∠AEC,

∴AC=CE.

∵∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+∠BCE,∠ACB-∠DAC=90°,

∴∠ACB-∠DAC=90°+∠BCE—∠DAC=90°,

∴∠BCE=∠DAC.

∵∠B=∠D,

∴△ACD≌△CEB,

∴AD=BC.

2.证明:延长BE交AC于点F,过点A作AH⊥AC交CD的延长线于点H.

∵∠BED=∠ACD=45°,

∴△CEF和△ACH都为等腰直角三角形，

∴∠EFC=∠CAH,

∴BF∥AH.

∵D是AB的中点,

∴AD=BD,△ADH≌△BDE,

∴AH=BE.

∵AC=AH,

∴AC=BE.

∵AH⊥AC,BE∥AH,

∴BE⊥AC,

∴BE=AC且BE⊥AC.

3.B解:过点C作CN⊥AB于点N,连接ED,EN,

∴∠CNA=90°.

∵∠BAC=45°,

∴∠NCA=∠A=45°,

∴AN=CN.

∵E是AC的中点,

∴∠ANE=∠CNE=45°,

∠CEN=∠AEN=90°,

∴EN=AE=CE,∠CEF+∠FEN=90°.

∵CD⊥BE,

∴∠CFE=90°,

∴∠CEF+∠DCE=90°,

∴∠DCE=∠BEN.

∵CD=EB,

∴△DCE≌△BEN,

∴ED=NB,∠CED=∠ENB=135°,

∴∠AED=

∴AD=DE=DN,

∴AD=DN=BN,

∴

突破3245°角用法(二)构模型

1.15解:过点C作CF⊥AE于点F.∵AB=AD,AE⊥BD,

∴BE=DE=5.

∵AB=AC,∠BAE=∠ACF,

∴△ABE≌△CAF,得AF=BE=5,

∴EF=AE-AF=3,

∴

=15.

2.证明:延长AB至点F,使BF=AD,连接CF.

∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴∠CAB=∠CBA=45°.

∵AD⊥AB,

∴∠DAE=90°,

∴∠CAD=∠CBF=135°,

∴△CAD≌△CBF(SAS),

∴CD=CF,∠ACD=∠BCF.

∵∠DCE=45°,

∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°,

∴∠BCE+∠BCF=45°,

∴∠DCE=∠FCE=45°.

∵CD=CF,CE=CE,

∴△CDE≌△CFE(SAS),

∴DE=EF,

∴AD+BE=BF+BE=EF=DE.

3.解:过点D作DE⊥AD交AB于点E,连接CE.

∵∠BAD=45°,

∴△ADE为等腰