专题训练:等腰三角形中作辅助线的八种常用方法(原卷版).docx

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等腰三角形作辅助线的常用方法

题型01等腰三角形中有底边中点时,常作底边上的中线

【典例分析】

【例1-1】(23-24八年级上·浙江宁波·期末)如图,在中,,点D为中点.,绕点D旋转,分别与交于E,F两点.下列结论中错误的是(????)

A.

B.

C.

D.始终为等腰直角三角形

【例1-2】(20-21八年级·辽宁沈阳·阶段练习)如图,在中,的垂直平分线交于点,交于点,为线段的中点,.

(1)求证:;

(2)若,则的度数为___________.

【例1-3】(23-24八年级上·全国·课堂例题)如图所示,在中,,,D为的中点,E,F分别是,上的点,且,试判断的形状,并说明理由.

【变式演练】

【变式1-1】(23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末)如图,在等腰三角形中,,D为的中点,点E在上,,若点P是等腰三角形的边上的一点,则当为等腰三角形时,的度数是(????)

A. B. C.减 D.或

【变式1-2】(23-24八年级上·北京·期末)如图,在中,,D是的中点,过A作,且.求证:

(1);

(2).

【变式1-3】(2024八年级·天津·专题练习)如图,在中,的垂直平分线交于点E,交于点F,D为线段的中点,.

(1)求证:.

(2)若,求的度数.

题型02等腰三角形中没有底边中点时,常作底边上的高

【典例分析】

【例2-1】(23-24八年级上·浙江杭州·期末)如图,在中,,点是边的中点,点在边上(不与点,重合),连接.(????)

??

A.若,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

【例2-2】(23-24八年级上·浙江温州·阶段练习)如图,在等边三角形中,D是上的一点,E是延长线上一点,连接、,已知.

(1)求证:是等腰三角形.

(2)当,时,求的面积.

【例2-3】(23-24八年级上·山东临沂·期末)已知在中,,点D是边上一点,.

(1)如图1,试说明的理由;

(2)如图2,过点B作,垂足为点E,与相交于点F.

①试说明的理由;

②如果,求的度数.

【变式演练】

【变式2-1】(23-24八年级上·四川泸州·阶段练习)如图,是的角平分线,,垂足为E,交的延长线于点F,若D恰好是的中点,.给出下列四个结论:①平分;②;③;④,其中正确的结论有(?????)个.

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

【变式2-2】(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末)如图,已知,,与相交于点G.求的度数.

【变式2-3】(23-24八年级上·山东聊城·期末)如图,是的角平分线,,垂足为交的延长线于点,若恰好平分.

(1)求证:;

(2)若的面积是18,,求长.

题型03等腰三角形中证与腰有关联的线段时,常作腰的平行线

【典例分析】

【例3-1】(22-23八年级上·湖北荆门·期中)如图,中,,点从点出发沿线段移动(点不与,重合),同时,点从点出发沿线段的延长线移动,已知点、移动的速度相同,与直线相交于点.

(1)求证:;

(2)过点作直线的垂线,垂足为,、在移动过程中,线段中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

【例3-2】(22-23八年级上·河南鹤壁·期末)问题初探

如图①,中,,,点是上一点,连接,以为一边作,使,,连接,猜想和有怎样的数量关系,并说明理由.

类比再探

如图②,中,,,点是上一点,点是上一点,连接,以一边作,使,,连接,则________.(直接写出答案,不写过程)

方法迁移

如图③,是等边三角形,点是上一点,连接,以为一边作等边三角形,连接,则、、之间有怎样的数量关系?答案:________(直接写出答案,不写过程).

拓展创新

如图④,是等边三角形,点是上一点,点是上一点,连接,以为一边作等边三角形,连接,猜想的度数,并说明理由.

【变式演练】

【变式3-1】(23-24八年级上·广东广州·期中)如图,在中,,点P从点B出发沿线段移动,同时,点Q从点C出发沿线段的延长线移动,已知点P、Q移动的速度相同,与直线相交于点D,求证:.

【变式3-2】(2024·八年级上·湖北吉林长春·)如图,在等腰中,顶角,点D是边的中点,连接,作于点E,再作交于点F.

??

(1)求证:;

(2)若,则的面积为______.

题型04等腰三角形中证与底有关联的线段时,常作底的平行线

【典例分析】

【变式4】(22-23八年级上·上海·期中)如图,在中,D是的中点,过D的直线交于E,交的延长线于F,且.求证:.

【变式演练】

【变式4-1】(23-24八年级上·北京·期末)如图,等边中,在边延长线上一点,延长至,使,于,求证:.

【变式4-2】(22-23八年级上·湖北黄冈·阶段练习)已知:在等边中,点是边所在直线上的一个动点(与、两点均不重合),点在的延长线上,且.

(1)如图①,当是边的中点

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