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高考数学三角恒等变换历年真题解析2024版

2018年天津高考数学试卷（文科）

解析：

该题是一道典型的三角恒等变换题，考查了学生对三角函数的熟练

运用能力。具体题目如下：

已知$\cosA-2\sinA=\sqrt{5}\cos(\pi/4+A)$，求$\sinA$的值。

我们可以从已知条件入手，分别对$\cosA$和$\sinA$进行化简。

首先，对$\cos(\pi/4+A)$进行展开，使用三角和差化积公式可以

得到：

$\cos(\pi/4+A)=\cos(\pi/4)\cosA-\sin(\pi/4)\sinA=

\frac{1}{\sqrt{2}}\cosA-\frac{1}{\sqrt{2}}\sinA$

将其代入已知条件中，可以得到：

$\cosA-2\sinA=\sqrt{5}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cosA-

\frac{1}{\sqrt{2}}\sinA\right)$

化简上式，整理得：

$\left(\cosA-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cosA\right)-

进一步整理，化简得：

+\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)\sinA=0$

我们可以发现，该式可以通过因式分解得到一个等式：

$(1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\cosA-(\frac{2}{\sqrt{2}}+

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\sinA=0$

-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)=0$

根据零因子法则，要使得上式等于0，要么$\cosA-\sinA=0$，

要么$1-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}}-

\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=0$。

第二个等式显然没有解，因此可以直接排除。我们只需解第一个等

式$\cosA-\sinA=0$。

进一步化简，我们可以得到$\cosA=\sinA$。由于$\cos^2A+

\sin^2A=1$，可以得到$\cos^2A+\cos^2A=1$。

化简得$2\cos^2A=1$，再次化简得到$\cos^2A=\frac{1}{2}$。

由于$0\leqA\leq\pi$，因此根据三角函数在不同象限的正负关系，

可以得到$\cosA=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

综上所述，$\cosA=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\sinA=

\frac{1}{\sqrt{2}}$。

因此，答案为$\sinA=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

通过对该题目进行详细解析，我们可以看到三角恒等变换题目的解

题基本思路。对已知条件进行整理，适当地运用三角函数的性质，将

复杂的表达式化简为简单的形式，最后得到求解的结果。这类题目考

察了学生对三角函数的熟练应用能力，需要熟练掌握常见的三角恒等

变换公式，加强练习和巩固，才能在高考数学中迎刃而解。