专题突破卷15 三角形的“四心”及奔驰定理（解析版）_1.docx

专题突破卷15三角形的“四心”及奔驰定理

1.内心问题

1．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.

【详解】在，上分别取点，，使得，，则．

以，为邻边作平行四边形，如图，

??

则四边形是菱形，且．

为的平分线．??

，?????

即，

．

，，三点共线，即在的平分线上．

同理可得在其它两角的平分线上，

是的内心．

故选：B．

2．已知点O是的内心，，，则（????）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【分析】连接并延长交于点，连接，则由角平分线定理得到的长度关系，再由平面向量基本定理，利用三点共线，得到关系式，比较系数可得答案.

【详解】连接并延长交于点，连接，

因为O是的内心，所以为的平分线，

所以根据角平分线定理可得，

所以,

因为三点共线，所以设，

则，

因为，

所以，

故选：D

3．三角形的四心是指三角形的重心?外心?内心?垂心.三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系.当且仅当三角形是正三角形的时候，重心?垂心?内心?外心四心合一，称作正三角形的中心.如图，是的垂心，分别交于，则是的（????）

??

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】A

【分析】根据题意，结合圆内接四边形的性质，分别证得和四点共圆，得到，即平分，同理证得平分，平分，即可得到答案.

【详解】因为是的垂心，所以，

所以，所以四点共圆，所以，

又因为是的垂心，，所以

所以，所以四点共圆，，

所以，即平分.

同理：平分，平分，所以是的内心.

故选：A.

4．校考期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（????）

A． B．3 C． D．4

【答案】A

【分析】取边的中点，根据给定条件可得，求出，进而求出及，再利用正弦定理求解作答.

【详解】在中，取边的中点，连接，

????

则，而，有，因此点共线，

由为的内心，得平分，即有，

因此，，有，，令内切圆与边切于点，连接，

则，，，

，，

在中，，

令外接圆半径为，由正弦定理得.

故选：A

5．在中，，，，是的内心，若，其中，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量加法的平行四边形法则可判断点的轨迹，由余弦定理求解边长，即可由等面积法求解内切圆半径，即可由三角形面积公式求解.

【详解】由，，

根据向量加法的平行四边形法则可知：动点的轨迹是以，为邻边的平行四边形及其内部，其面积为的面积的2倍.

??

在中，设内角所对的边分别为，，，

由余弦定理，得.

设的内切圆的半径为，则，

所以，解得，

所以.

故动点的轨迹所覆盖图形的面积为.

故选：D.

6．设为的内心，，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案.

【详解】取的中点，连，

因为，，所以，，

所以的内心在线段上，为内切圆的半径，

因为，

所以，

所以，得，

所以，

所以，

又，所以，

又已知，所以，

所以.

??

故选：B.

【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键.

2.外心问题

7．中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（????）

A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

【答案】A

【分析】设，，以为原点，、方向为、轴正方向建立空间直角坐标系，根据已知得出点的坐标，设，根据列式得出点的轨迹方程为，即可根据三角形四心的性质得出答案.

【详解】设，，

以为原点，、方向为、轴正方向如图建立空间直角坐标系，

，

，，

则，，，，则，

设，则，

，

，即，

即点的轨迹方程为，

而直线平分线段，即点的轨迹为线段的垂直平分线，

根据三角形外心的性质可得点的轨迹一定过的外心，

故选：A.

8．M为△ABC所在平面内一点，且，则动点M的轨迹必通过△ABC的（????）

A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心

【答案】C

【分析】设边的中点为，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得，由数量积的性质可得，由此可得结论.

【详解】设边的中点为，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，又点为边的中点，

所以点在边的垂直平分线上，

所