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专题06等差数列的概念与前n项和
【清单01】等差数列的定义与前n项和
一.等差数列的定义
1.文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做
等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.符号语言:若a-a=d(n≥2),则数列{a}为等差数列
nn-1n
二.等差数列的通项公式
已知等差数列{a}的首项为a,公差为d.
n1
递推公式通项公式
a-a=d(n≥2)a=a+(n-1)d(n∈N)*
nn-1n1
三.等差中项
a+b
如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.这三个数满足的关系式是A=.
2
四.等差数列的证明
1.定义法:a-a=d(常数)(n∈N)⇔{a}为等差数列;*
n+1nn
2.等差中项法:2a=a+a(n∈N)⇔{a}为等差数列.*
n+1nn+2n
五.等差数列的性质
1.通项公式的推广:a=a+(n-m)d(n,m∈N).*
nm
2.若k+l=m+n(k,l,m,n∈N),则a+a=a+a.*klmn
3.若{a}的公差为d,则{a}也是等差数列,公差为2d.
n2n
4.若{b}是等差数列,则{pa+qb}也是等差数列.
nnn
【清单02】等差数列的前n项和
一.数列的前n项和
对于数列{a},一般地称a+a+…+a为数列{a}的前n项和,用S表示,即S=a+a+…+a.
n12nnnn12n
二.等差数列的前n项和公式
已知量首项,末项与项数首项,公差与项数
+)1)
选用公式121+2
三.等差数列前n项和的性质
已知数列{a}是等差数列,S是其前n项和:
nn
1.数列S,S-S,S-S,…构成等差数列.
m2mm3m2m
2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
S奇an
①若项数为2n,则S-S=nd,=;
偶奇
Sa
偶n+1
S奇n
②若项数为2n-1,则S=(n-1)a,S=na,S-S=a,=.
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