2024—2025学年吉林省长春市第八中学高二上学期第一次月考数学试卷.docVIP

2024—2025学年吉林省长春市第八中学高二上学期第一次月考数学试卷

一、单选题

(★)1.直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（）

A．大于零

B．小于零

C．大于零或小于零

D．以上结论都有可能

(★★)2.若圆的圆心是，则该圆的半径为（）

A．4

B．3

C．2

D．1

(★★)3.方程所表示的圆的最大面积为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（）

A．4

B．3

C．2

D．6

(★★)5.直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．或

(★★★)6.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)7.已知为圆上任意一点，则的最大值为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.将油纸伞撑开后摆放在户外场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（某时刻，阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.下列说法正确的是（）

A．直线的倾斜角为

B．方程与方程可表示同一直线

C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为

D．过两点的直线都可用方程表示

(★★★)10.下列结论正确的是（）

A．已知点在圆上，则的最大值是4

B．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为

C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是

D．已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离

(★★)11.加斯帕尔?蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）

A．椭圆的离心率为

B．若为正方形，则的边长为

C．椭圆的蒙日圆方程为

D．长方形的面积的最大值为14

三、填空题

(★)12.点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则_________.

(★★★)13.直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是_________．

(★★★)14.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，则=__________

四、解答题

(★★★)15.已知直线与直线．

(1)当m为何值时，与相交；

(2)当m为何值时，与平行，并求与的距离；

(3)当m为何值时，与垂直．

(★★★)16.已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.

(1)求直线的方程和点C的坐标；

(2)求的面积．

(★★)17.已知椭圆的焦距为，离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.

(★★★)18.如图，圆与圆的半径都是2，，过动点P分别作圆与圆的切线PM，PN，M，N分别为切点，使得.

(1)试建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程；

(2)若圆与圆的一条公切线与坐标轴平行，判断直线与曲线P的位置关系？若相交，求出弦长，若不相交，说明理由.

(★★★★)19.已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为．

(1)求的方程．

(2)不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．

（i）证明：直线过定点；

（ii）求面积的最大值．