高中数学函数的单调性.doc

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|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页

2-2函数的基本性质 pagePAGE4ofNUMPAGES6

函数的

函数的单调性

（一）知识内容

函数单调性的定义：

①如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．

②设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；若，则为的减函数．

单调性的定义①的等价形式：

设，那么在是增函数；

在是减函数；

在是减函数．

复合函数单调性的判断：“同增异减”

函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．

即若在区间上递增（递减）且（）；

若在区间上递递减且．（）．

①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等

（二）主要方法

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有：

⑴用定义；

用定义法证明函数单调性的一般步骤：

①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且

②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．

③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．

④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．

⑵用已知函数的单调性；

⑶利用函数的导数；

⑷如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；

⑸图象法；

⑹复合函数的单调性结论：“同增异减”；

复合函数的概念：

如果是的函数，记作，是的函数，记为，且的值域与的定义域的交集非空，则通过确定了是的函数，这时叫做的复合函数，其中叫做中间变量，叫做外层函数，叫做内层函数．

注意：只有当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合函数．

⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．

⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．

⑼在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数．

⑽函数在上单调递增；在上是单调递减．

3．证明函数单调性的方法：

⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②

（三）典例分析

如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

试用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性．

根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．

证明函数在定义域上是减函数．

证明函数在定义域上是增函数．

求下列函数的单调区间：

⑴；⑵（）．

求下列函数的单调区间：

⑴；⑵

作出函数的图象，并结合图象写出它的单调区间．

讨论函数的单调性．

讨论函数在内的单调性．

拓展：若在是减函数，在上是增函数，则=______

讨论函数的单调性．

求函数的单调区间．

设，是定义在有限集合上的单调递增函数，且对任何，有．那么，（）

A．B．C．D．

若是上的减函数，且的图象经过点和点，则不等式的解集为（）．

A． B． C． D．

函数（，）的递增区间是（）

A． B．或C． D．或

已知（且）是上的增函数．则实数的取值范围是（）．

A． B．

C． D．

已知是定义在上的增函数，且当时，，，则．

求函数，的最小值．

点评由对函数的分析，可以很快得到

函数的性质：

⑴函数为奇函数；

⑵函数在上为增函数，在上

为减函数，在上为减函数，在上为

增函数；

⑶函数在上有最小值为，在上有最大值为．

求函数的最小值．

求函数的最值．

已知是定义在上的增函数，且．

⑴求证：，；

⑵若，解不等式．

已知函数对任意实数，均有．且当＞0时，，试判断的单调性，并说明理由．

已知给定函数对于任意正数，都有＝·，且≠0，当时，．试判断在上的单调性，并说明理由．

设是实数，，

⑴试证明对于任意，为增函数；

⑵试确定值，使为奇函数．