福建省上杭县第一中学2024年高三第一次五校联考数学试题试卷.docVIP

福建省上杭县第一中学2024年高三第一次五校联考数学试题试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（）

A． B． C． D．

2．已知直线与圆有公共点，则的最大值为（）

A．4 B． C． D．

3．已知集合，，则（）

A． B．

C． D．

4．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）

A． B．

C． D．

5．已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且则“”是“”的()条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

6．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）

A． B． C． D．

7．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．

A． B． C． D．

8．设复数满足为虚数单位)，则（）

A． B． C． D．

9．观察下列各式：，，，，，，，，根据以上规律，则（）

A． B． C． D．

10．设递增的等比数列的前n项和为，已知，，则（）

A．9 B．27 C．81 D．

11．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（）

A． B． C． D．

12．已知符号函数sgnxf（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）

A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx

C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.

14．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____．

15．已知，，，则的最小值是__．

16．若正三棱柱的所有棱长均为2,点为侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为和，右顶点为，且，短轴长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点作垂直轴的直线，点为直线上纵坐标不为零的任意一点，过作的垂线交椭圆于点和，当时，求此时四边形的面积.

18．（12分）如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，，，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

19．（12分）已知在平面四边形中，的面积为.

（1）求的长；

（2）已知，为锐角，求.

20．（12分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏．

（1）若当时，，求此时的值；

（2）设，且．

（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；

（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值．

21．（12分）已知.

（1）解不等式；

（2）若均为正数，且，求的最小值.

22．（10分）如图，己知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.

（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；

（2）若，且，求实数的值；

（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.

【详解】

如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.

因为，故四边形为平行四边形，故.

又双曲线为中心对称图形，故.

设，则，故，故.

因为为直角三角形，故，解得.

在中，有，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方