第二章 实数 知识归纳与题型突破（二十一类题型清单） （解析版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记 巧练（北师大版）.docx

第二章实数知识归纳与题型突破（二十一类题型清单）

01

01思维导图

02

02知识速记

一、平方根和立方根

类型

项目

平方根

立方根

被开方数

非负数

任意实数

符号表示

性质

一个正数有两个平方根，且互为相反数；

零的平方根为零；

负数没有平方根；

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零；

重要结论

二、无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

实数

要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点一一对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

4.实数的运算

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

要点：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.

四、二次根式的运算

1.乘除法

（1）乘除法法则：

类型

法则

逆用法则

二次根式的乘法

积的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

商的算术平方根化简公式：

要点：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

03

03题型归纳

题型一实数的概念与分类

例题

1．在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，无理数的个数（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解析】解：3.1415926、0.2都是有限小数，是有理数，

、都是分数，是有理数，

是整数，是有理数，

、是无理数，共2个，

故选：A．

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有∶π、2π等；开方开不尽的数；以及像0．01010010001?，等有这样规律的数．

巩固训练

2．在实数，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（????）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】根据无理数的三种形式求解即可．

【解析】解：在这8个数中，无理数有、、、（每各一个1增加一个这4个，

故选：C．

【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．

3．下列说法正确的是（????）

A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数

C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数

【答案】C

【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可．

【解析】A.