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2020年全国初中数学竞赛试题及答案--第1页
初三数学竞赛试题2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D
的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不
填、多填或错填都得0分)
1.已知非零实数a,b满足,则等于().
(A)-1(B)0(C)1(D)2
【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为,于是,从而=1.
2.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则
a等于().
【答】A.解:因为△BOC∽△ABC,所以,即,所以,.
由,解得.
3.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次,记第一次掷出的点数为,第二次掷出的点数为,则使关于x,y的方程组只有
正数解的概率为().
(A)(B)(C)(D)
【答】D.解:当时,方程组无解.当时,方程组的解为
由已知,得即或由,的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得
共有5×2=10种情况;或共3种情况.
又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为.
4.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,.动点P从点
B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y
看作x的函数,函数的图像如图2所示,则△ABC的面积为().
(A)10(B)16(C)18(D)32
2020年全国初中数学竞赛试题及答案--第1页
2020年全国初中数学竞赛试题及答案--第2页
【答】B.
解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=×8×4=16.
5.关于x,y的方程的整数解(x,y)的组数为().
(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组
【答】C.解:可将原方程视为关于的二次方程,将其变形为.
由于该方程有整数根,则判别式≥,且是完全平方数.由≥,解得≤.于是
0
1
4
9
16
116
109
88
53
4
显然,只有时,是完全平方数,符合要求.
当时,原方程为,此时;
当y=-4时,原方程为,此时.
2020年全国初中数学竞赛试题及答案--第2页
2020年全国初中数学竞赛试题及答案--第3页
所以,原方程的整数解为
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,
则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,
要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.
【答】3750.
解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km
磨损量为,安装
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